Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмана [2, 3]
(1949 г.), где также никак не использовался конкретный вид потенциалов.
Рассмотрение в цитированных статьях специальных потенциалов, позволяющих
получить окончательное решение, оказалось полезным для проверки целого
ряда гипотез об аналитических свойствах фупкций Иоста и парциальных
амплитуд. Следует подчеркнуть, что во всех работах последнего направления
рассматривалась не полная амплитуда рассеяния, а лишь отдельные члены
разложения ее по парциальным волнам.
После появления указайных выше статей начался быстрый рост числа работ,
посвященных рассматриваемой проблеме. При этом аналитические свойства
изучались также для таких классов потенциалов, которые подобно
гауссовской или прямоугольной яме не имеют теоретико-полевого
обоснования. Тем не менее соответствующие результаты представляют интерес
для физики низких энергий.
§ 2. Исторические замечания
17
Параллельно происходил непрерывный прогресс в теории поля, причем был
установлен ряд аналитических свойств и дисперсионных соотношений для
полной амплитуды рассеяния. Как это ни удивительно, но некоторое время
никто не чувствовал необходимости проверки этих свойств на примере
потенциального рассеяния. Это было впервые сделано в 1957 г. Кури [58],
который установил аналитические свойства полной амплитуды рассеяния.
Результаты Кури были затем вновь получены в 1958-1959 гг. более изящными
способами рядом других авторов [39, 57]. Во всех этих работах
доказательства основывались непосредственно на трехмерном уравнении
Шредингера, а ссылки на уравнение для парциальных амплитуд носили лишь
частный характер. В то время стало общепринятым утверждение о том, что
парциальные волны совершенно непригодны при рассмотрении дисперсионных
соотношений для полных амплитуд и, следовательно, развитие теории поля не
может идти по пути, намеченному Иостом.
Подобные общие соображения разделялись большинством исследователей, когда
появились работы Мандельстама [65], в которых были предложены его
знаменитые двойные дисперсионные соотношения. Из представления
Мандельстама вытекают определенные предсказания относительно
аналитических свойств парциальных амплитуд рассеяния. Использование этих
предсказаний явилось толчком к широкому применению так называемого N/D-
метода построения амплитуд, в котором исходят из задания разреза на левой
полуоси, соответствующего "силам". Как показал Мартин [69, 70], указанные
аналитические свойства действительно имеют место для юкавских
потенциалов. При этом, хотя данные свойства и следуют из двойных
дисперсионных соотношений, обратное утверждение не имеет места:
подтверждение этих свойств не является доказательством справедливости
представления Мандельстама.
Сейчас мы знаем, что предположение Мандельстама оправдано для
потенциалов, представимых в виде суперпозиции потенциалов Юкавы (так
2 Зак. 18
18
Г л. 1. Введение
называемые юкавские потенциалы). Как показали Шарап и Фубини [23, 24],
этот класс потенциалов наиболее согласуется с теорией поля.
Приведенное в начале предыдущего абзаца утверждение было независимо
высказано почти одновременно целым рядом исследователей, работавших в
теории поля с помощью различных методов. Это, несомненно, сильно
продвинуло общее понимание теории. Доказательства представления
Мандельстама опираются на следующие два существенно различные подхода.
Первый из них был намечен в 1959 г. Боукоком и Мартином [17] и был
впоследствии завершен Блан-кенбеклером и др. [10]. В основе этого подхода
лежит использование преобразования Фурье трехмерной волновой функции,
удовлетворяющего так называемому уравнению Липпмана-Швингерав импульсном
пространстве. Из последнего уравнения ими было получено итерационное
разложение полной амплитуды рассеяния. Оказалось, что каждый член этого
разложения удовлетворяет представлению Мандельстама без вычитаний с
сингулярностями, монотонно удаляющимися от физической области с
повышением порядка членов. Бланкенбеклер и др. показали, как обойти
трудность, связанную с равномерной сходимостью разложения, не обращаясь к
громоздкому формализму Фредгольма, который использовался на более ранних
стадиях исследования. Появление техники определения сингулярностей
разложения теории возмущений, разработанной Ландау, существенно упростило
аппарат, используемый при рассматриваемом подходе.
Метод Ландау [60] был применен также к релятивистскому разложению
Фейнмана - Дайсона в теории поля [31, 85] для доказательства правильности
представления Мандельстама в общем случае. Детальное обсуждение этого
вопроса выходит за рамки настоящей книги; мы ограничимся только
замечанием, что обширный класс диаграмм, включая лестничное приближение,
оказывается удовлетворяющим представлению Мандельстама.
§ 2. Исторические замечания
19
В результате Бланкенбеклер и др. [10] пришли к интересному заключению,
что дисперсионные соотношения и унитарность позволяют восстановить полную
