Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
т2- массы частиц, U(x) - Потенциал, х - относительное расстояние между
частицами (x=jx|) и ef - энергия системы. В дальнейшем мы будем
использовать величины
Е=~~, V{x)=2MPx) и Р = Е.
После перехода к этим величинам уравнение (1.1) принимает вид
A'F (х) + № (х) - 1/ (*) ? (х) = 0. (1.2)
В последнем уравнении можно произвести разделение переменных, если искать
решение в виде
Т(Х)==^КГ(Ф, Ф), (1.3)
где Yf (А1, ф) - сферическая гармоника. Как известно, функция ф(х)
удовлетворяет обыкновенному диффе-
14
Гл. 1. Введение
ренциальному уравнению, называемому радиальным уравнением, или уравнением
для парциальных волн:
0. (1.4)
Уравнение (1.4), содержащее одну независимую переменную, значительно
проще полного уравнения (1.2). Основной задачей данной книги является
извлечение из уравнений (1.2) и (1.4) возможно большей информации о
характере движения исследуемой системы.
С точки зрения современной теории элементарных частиц уравнения (1.2) и
(1.4) недостаточны в следующем отношении:
1. Они являются нерелятивистскими. Для исключения этого недостатка можно
было бы перейти к уравнению Бете - Солпитера; однако целесообразнее
провести вначале подробный анализ уравнения
(1.4), а потом уже перейти к рассмотрению более сложных задач.
2. Предположение о том, что частицы являются бесспиновыми и не имеют
внутренней структуры, конечно, нереалистично. Мы можем обобщить наш
формализм на случай частиц со спином или систем, обладающих некоторыми
дискретными внутренними степенями свободы. Такое обобщение сделано уже
многими способами, но, хотя при этом появились некоторые интересные новые
соображения, все же основные выводы могут быть сделаны и из рассмотрения
принятой простой модели. Значительно большие трудности возникают при
описании взаимодействия связанной системы из двух частиц с третьей
частицей. В этом случае мы имеем дело с трехчастичной задачей, которая
существенно сложнее задачи многоканального рассеяния.
3. Хотя сама идея о введении потенциала является весьма полезной, в
действительности он может оказаться зависящим от скоростей или даже
нелокальным. В простейших случаях потенциалов, зависящих от скоростей,
могут быть сохранены методы рассмот-
§ 1. Уравнение Шредингера
Id
рения, развитые в настоящей книге. В случае же существенно нелокальных
потенциалов, когда дифференциальное уравнение (1.4) заменяется на
интегро-дифференциальное, большая часть принципиальных результатов
стандартной теории (дисперсионные соотношения, аналитические свойства и
т. д.) теряет, по-видимому, свою силу. Наша точка зрения относительно
таких потенциалов заключается в следующем: вполне возможно, что они в
действительности реализуются, но если это так, то не известно, что с ними
делать. Больше к данному вопросу мы возвращаться не будем.
Перечислив недостатки обычной потенциальной теории рассеяния, естественно
отметить ее достоинства.
В настоящей книге мы не пытаемся получить какие-либо численные
результаты, поскольку, как уже подчеркивалось, нашей задачей не является
выяснение феноменологии явления. Изучение поведения рассматриваемой
системы будет основываться на общих идеях дисперсионной теории. Другими
словами, мы ставим перед собой задачу изучения аналитических свойств
амплитуды рассеяния и нахождения тех ее свойств, которые не зависят от
потенциала или, точнее, не требуют для своего определения детального
знания V{x). Таким образом, мы будем выделять результаты, относящиеся не
к каким-либо конкретным потенциалам, а к определенным классам
потенциалов. Эти результаты должны во всяком случае воспроизводить
соотношения, следующие в нерелятивистском пределе из моделей теории поля.
Современное состояние теории, несомненно, позволяет осуществить эту
ограниченную программу. Значительно менее очевидна возможность нахождения
при этом новых идей, которые в свою очередь могут дать толчок к развитию
теории поля.
Такая возможность кажется в особенности удивительной, если учесть крайнюю
простоту задачи о потенциальном рассеянии по сравнению с обычной теорией
поля. После появления понятия S-матрицы эта простота привлекла к данной
задаче внимание
16
Гл. 1. Введение
многих авторов, в результате чего исследование двухчастичного
потенциального рассеяния может считаться сейчас в основных чертах почти
полностью завершенным.
§ 2. Исторические замечания
Мы считаем, что статья Иоста [52], опубликованная в 1947 г., явилась
первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения
конкретных численных расчетов для ядерной физики, а изучения общей теории
матрицы рассеяния. В этой статье впервые были введены так называемые
функции Иоста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии
теории.
Хотя исследование Иоста ограничивалось 5-волнами, тем не менее оно
содержало уже весь основной математический аппарат, необходимый для
перехода к более общему случаю. В частности, было дано полное обсуждение
проблемы так называемых ложных полюсов 5-матрицы.
