Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
амнлитуду рассеяния по ее второму борновскому приближению без обращения к
уравнению Шредингера, вместо которого используются нелинейные уравнения
для спектральной функции двойного дисперсионного представления. Обобщение
такой процедуры на релятивистский случай пригодно лишь до порога
неупругих процессов.
В рассмотренном подходе никак не учитывались вычитания по передаваемому
импульсу. В этом отношении предпочтительнее другой метод, предложенный в
1959 г. Редже [89]. Он основан на единственности аналитического
продолжения парциальных амплитуд рассеяния на комплексные значения
углового момента.
Основной особенностью этого второго подхода является использование
взаимной связи между угловым моментом и передаваемым импульсом (или,
лучше сказать, углом рассеяния). Эти переменные являются, очевидно,
сопряженными и их можно для наглядности сравнить с обычными координатой и
импульсом частицы. Как известно, волновая функция представляет в
импульсном пространстве преобразование Фурье от координатной волновой
функции и наоборот. Далее из анализа хорошо известен также тот факт, что
особенности функции определяют асимптотическое поведение ее
преобразования Фурье. Из взаимообратимого характера преобразования Фурье
непосредственно следует, что сингулярности последнего в свою очередь
определяют асимптотическое поведение исходной функции. Качественно можно
сказать, что сингулярность в преобразовании Фурье (асимптотическое
поведение) представляет асимптотическое поведение (сингулярность).
Аналогичная интерпретация оказывается возможной также в случае угловых
переменных с тем только отличием, что в этом случае мы имеем дело с
разложением по сферическим функциям и тесно связанным с ним преоб-
2*
20
Гл. 7. Введение
разованием Меллера, использующим функции Лежандра с комплексным индексом.
Соответственно сказанному следует ожидать (и детальный анализ это
подтверждает), что сингулярности в сдвиге фаз по угловому моменту
определяют асимптотическое поведение полной амплитуды относительно
передаваемого импульса. В то же время в зависимости от области
определения подобные сингулярности могут интерпретироваться как резонансы
или связанные состояния. Положительной особенностью подобного подхода
является то, что мы можем связать асимптотическое поведение с угловым
моментом системы. Было предложено обобщить эту связь на случай
релятивистской теории, причем сейчас делается много попыток дать строгое
обоснование этого обобщения ввиду важных следствий, вытекающих из него
для рассеяния при высоких энергиях.
Верно также обратное утверждение, что сингулярности амплитуды рассеяния
по передаваемому импульсу определяют асимптотическое поведепие сдвигов
фаз. В этом состоит смысл известного соотношения между размером эллипса
Лемана [61] (наибольший эллипс на плоскости cos 0 с фокусами в точках ±1,
в котором амплитуда рассеяния является аналитической) и поведением сдвига
фаз при больших угловых моментах.
Рассматриваемая теория двухчастичных систем сейчас в значительной мере
завершена. Было бы крайне желательно обобщить полученные результаты на
трехчастичные (многочастичные) системы. Однако, несмотря на значительные
усилия, успехи в этом направлении остаются пока весьма скромными.
ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 1. Предварительные замечания
Изучение потенциального рассеяния значительно упрощается ввиду того, что
в математике выполнено огромное количество исследований по линейным
дифференциальным уравнениям, преобразованию Фурье, аналитическим функциям
и интегральным уравнениям. Задачей настоящей главы является ознакомление
читателя с рядом математических теорем, используемых в дальнейшем.
§ 2. Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений второго
порядка
Запишем общее линейное однородное уравнение второго порядка в виде
Простыми результатами теории таких уравнений являются следующие теоремы.
Теорема 1. Общее решение уравнения (2.1) представляет собой линейную
комбинацию любых двух линейно независимых решений.
Теорема 2. Всякое уравнение вида (2.1) может быть представлено в форме
[103]
^Ш1 + Р(х)Ё7Г- + 9(*)1(х) = 0- (2Л)
*^+/(*)Ф(*) = 0,
(2.2)
где
X
Ь
и
22
Гл. 2. Математический аппарат
Рассматриваемое в книге уравнение Шредингера имеет, очевидно, вид (2.2).
Непосредственным следствием (2.2) является теорема 3.
Теорема 3. Для любых двух решений <р и ф уравнения (2.2) имеет место
формула
W{Ф, ф) = Ф^_ф^ = с,
где с - некоторая постоянная; №(<р, ф) обычно называют вронскианом от
функций ф и i|).
Физически последняя теорема связана с уравнением непрерывности, поскольку
вронскиан №(ф, ф*), где ф - некоторое комплексное решение (1.4),
представляет собой (с точностью до фазового множителя) просто радиальный
ток. Этот ток действительно сохраняется, если уравнение одинаково для ф и
ф*, т. е. если V(x) вещественно, что означает отсутствие поглощения
частиц.
Теорема 4. Каждое решение (2.1) может быть определено заданием
