Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
„ с? —-
циальном поле и —--J- , где а - постоянный вектор.
173. В переменных <j и р гамильтониан осциллятора имеет вид:
г 2
р /п. tu 2
Найти производящую функцию Cr--Qif7Py^) каноническог
преобразования от переменных f и р к таким канонически сопряженным переменным О. и Pi для которь X гамильтониан осциллятора обращается в нуль тождественно.
174. Частица с массой m и зарядом Є движется постоянном однородном _магнитном поле с напряженностью H Векторный потенциал А магнитного поля имеет следующи компоненты: Ajc-A7 =O и Ay = Px . Определить действие $ ка функцию декартовых координат и времени.
175. Постоянные однородные электрическое ? и магнит»
ное
ЇГ поля взаимно ортогональны. Выбирая электромагнитные потенциалы А и ^ данных скрещенных полей а вид.
~0 , Ay = Р-с и iP--Pu: , найти полный интеграл ура в» нения Гамильтона Якоби для частицы с массой ^ и заря.-дом Є
17 6*. Векторный потенциал А постоянного однородного магнитного поля в цилиндрических координатах имеет следующие компоненты: A^=Aj= <? и А<р~ Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для частицы с массой т. и зарядом Є , которая движется в заданном магнитном поле. 177. Используя соотношения
ifn= Pn >П''>->*'
а также уравнения Гамильтона» доказать, что производные от действия ,сск) по произвольным постоян-
ным OCrri являются интегралами движения
j^-= con St, гп,= r7,.. , А .
178. Методом Гамильтона - Якоби определить закон^ движения частицы массы т, в однородном силовом полef. Ось
Z параллельна вектору P , а начальные условия при t = о имеют вид: X(O)^X0 » у(Q)= у . Z(Q)=Zq » x/0)^cr , Lf(G)=V И І/оЬЩ » raeq?0. ' z
179. Механическая система характеризуется функцией Гамильтона
х-Цр^ р** P2i)*v Iy
Методом Гамильтон - Якоби
найти закон движения механической системы, если функция U- У(f,Jf^iJJK начальные условия при t =rO имеют вид: '
a) U= ff' 4 , /д
I1(O)^t2 (О)-i3(a)=0, (0)= (о)=- ^ (О) « /;
U=
Ь + ь-ІГ'
V0^b(O)= h (O)=Oy ^(0)---^(0)=^(0):, 7 •
В) U=-J--,
SLn Cp у г г'
?/<>) = J? ^(O)=^3(O) = Oy Ь(0)=Ь{0)=}/ 9,(0) = 2-
ь cYb
Ь^-Ь(О) ^2(O) = O7 h(0) = f7 уо) =2^(0)=7.
41
Г) U= е2%
С05га ' d ^d 180. Частица массы т движется в сферически-симмет-ричном потенциальном поле притяжения U= -^г&Ґ2. В начальный момент времени ta= О °на имела координаты Jc(O) =X0 и у (О)= = Z(O)-O и проекции скорости 2^c(O)-W1 , ^ (О)= и 2^(0/=0. Используя метод Гамильтона - Якоби, найти закон движения частицы в декартовых координатах,
181. Материальная точка массы пі движется по окружности радиуса R , которая расположена в вертикальной плоскости в поле тяжести (математический маятник). При помощи метода Гамильтона - Якоби найти закон движения математического маятника в квадратурах. Начальные условия произвольны.
182. Электрон с массой т. и зарядом е движется в поле электромагнитной волны, которая описывается векторным потенциалом А - A0CO5 (a)t - лГг). Используя метод Гамильтона — Якоби, найти закон движения электрона, если в начальный момент времени t = О электрон находился в начале де кар«= товой системы координат и имел нулевую скорость. Исследовав ние провести E течение промежутка времени, пока поперечные размеры области движения малы по сравнению' с длиной волны
к~Р~<<-1 .
183. Частица массы т движется в плоскости XZ в
потенциальном поле U-<*(*•) t , гае а. (г J и $ (у) - произ-
/
вольнье функции сферических координат г и ? , Используя метод Гамильтона — Якоби, выразить траекторию частицы через квадратуры.
184. Диполь с моментом d создает в пространстве электрическое поле с потенциалом у в в электрическом
поле диполя рассеивается протон с массой т и зарядом с . До рассеяния протон двигался с прицельным расстоянием р и имел скорость 2ґ , антииараллельную вектору с? . Выразите траекторию протона через квадратуры. В случае далеких про«« летов протона с большой энергией 6 определить траекторию в аналитическом виде путем разложения полученного выражения в ряд по малому параметру ed/зрс « 7
185. Рассеяние частиц г.роисходит в потенциальном поло
f (&) , где г и 9 - сферические координаті^ S-постоянная, а ?(&} - некоторая безразмерная фуккшы. На бесконечно большем расстоянии от4 силового центра скорости час-= тип аытипараллельны полярной осп Z сферической системы 42 координат. Прицельное рассеяние f и энергия 6 каждой частицы удовлетворяют неравенству Sp2»? ¦ Определить дифференциальное сечение cLCfy) ' рассеяния на малые углы % если функция / (9) имеет вид:
a) f(0)=Sin&-j б) f (в) = SCrv2 в) в) f (Q)=Cos 9. "
§ 14. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
186. В качестве одномерного осциллятора служит частица массы т > которая движется в потенциальном поле U= 9^f--
Энергия осциллятора <5 . Определить адиабатический инвариант 1 осциллятора двумя способами: 1} путем вычисления площади, ограниченной замкнутой траекторией в фазовой плоскости; 2) при помощи вычисления интеграла,, который входит в выражение для адиабатического инварианта.
187. Упругий шарик подскакивает на высоту ,4 над жесткой плитой, совершая периодическое движение в поле тяжести. Определить адиабатический инвариант X этого шарика.
