Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
141. Написать уравнения Гамильтона для материальной точки с массой т , движущейся в поле тяжести по поверхности сферы» радиус R которой как функция времени меняется по заданному закону,
142. Обобщенный импульс /=> механической системы с одной степенью свободы связан с энергией S соотношением p=tk 6 . Представить обобщенную скорость q, как функцию энергии.
143. Используя функцию Лагранжа
L = ^r T Tr- Є ?
для частицы с массой пг и зарядом е , которая движется в электромагнитном поле, определить гамильтониан этой частицы и написать уравнения Гамильтона в декартовых координатах. Здесь с - скорость света, а векторный А и скалярный У потенциалы электромагнитного поля произвольно зависят от декартовых координат и времени. Показать, что из полученных уравнений Гамильтона вытекает уравнение Ньютона, в правой части которого стоит сила Лоренца Tr- е(Jr + ^ г? ) > где напряженности электрического E и магнитного ?Г полей связаны с электромагнитными потенциалами следующим образом: F= - ^rad -F- -J^T f JT=FOtX
144. При помощи уравнений Гамильтона, написанных для радиус—вектора и обобщенного импульса заряженной частицы в постоянном магнитном поле JT , показать, что проекция момента M ^Г*Р на направление вектора /7~ сохраняется.
145. Проинтегрировать канонические уравнения механической системы с одной степенью свободы, если функция Гамильтона $ в безразмерном обозначении и начальные условия при t - О имеют вид:
а) = > $(°)=*, P(O) = O-
б) +р* '-о f(o)*r, P(O)=O. 146. Используя уравнения I амильтона и закон сохранения энергии, найти канонически сопряженные переменные q и. ес~ ли функция Гамильтона Л в безразмерном обозначении и начальные условия при t= О заданы:
а) M= р2+ JT >» Pi") = 0;
б) ' ^
147, Проинтегрировать канонические уравнения механической системы с двумя степенями свободы, если функция Гамильтона в безразмерном обозначении и начальные условия при t~ О имеют вид:
а) Ж = (Oj г ^ (о);--р7 (ОJ = О, ^ (О/=/;
б) Ъ 0)*Р* (uj = 1 > fe (0j = ^r (0J "
148. Проинтегрировать уравнения Гамильтона для частицы с массой m и зарядом е , движущейся в постоянном однородном магнитном поле с напряженностью H . Векторный потенциал А магнитного поля выбрать в виде Ay^fl-O и Ay = Hoc. , где ось декартовой системы координат направлена вдоль
вектора И . Начальные условия произвольны.
§ 11. СКОБКИ ПУАССОНА
149. Проекции /Vc и My момента M = r~ * ?~ сохраняют постоянное -значение при движении частицы в сферически-симметричном потенциальном поле U= U (г) . Используя сохраняющиеся величины AZc и M^ , найти еще один интеграл движения при помощи теоремы Пуассона.
150. Вычислить скобки Пуассона ^ M0^ -^3/ , /*/?/jJh составленные из декартовых компонент радиус-вектора , импульса р и момента M= р материальной точки.
151. Дано, что J- = f-[ctp)vL - fj^cCjEt]-. произвольные функции своих аргументов, а Я^ , и M-F*fF - соответственно радиус-вектор, импульс и момент частицы. Считая йГ постоянным вектором, определить скобки Пуассона:
Irtfj1 {FTvi7 i~M,ct{r**M)!r. 152. Пусть сС и 6 — постоянные векторы, а (F9 р"J и P=F (Af /5"") - произвольные дифференцируемые функции радиус-вектора J^ и импульса р материальной точки. Вычислить скобки Пуассона: ^ „ . .
а) {X(Xrf)l {ПІ, {РГ};
«> faT/rrtJXjT'*}, {г/}, {гР}; {(a ff}, {(ар), (Sr}f\, {(сГР-І,(еПї}-
153. Путем вычисления соответствующих скобок Пуассона доказать, что момент ATsz Р* сохраняется при движении частицы в центрально-симметричном потенциальном поле U-U (г
154. Убедиться в том, что для частицы массы пі , движущейся в сферически-симметричном потенциальном поле U(г) -~ -^г*гг , скобки Пуассона, составленные из величин M-/3*"* ~р~ s
^r ю Fu Ppфa^yiVI -+ , удовлетворяют соотношени-
ям:
I*= (? ? г*ax^bty (? Рр р ^ Xfi ,
{?ем}=0, {Ж =
где индексы еС п ? принимают значения от 1 до 3, отме«-чая проекции векторов и ^ на^декартовые оси соответственно X , Y и Z , &¦ 6, , /f, и Г - орты этих декартовых
„ /СО
осей.
155. Специфический интеграл движения в кулоновском поле Uимеет вид: T= (Pf)у , г"де % и // «« ра-
диус-вектор, импульс и момент частицы с массой m , Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент указанных векторов:
tbl*},
156. Представить уравнения Гамильтона ?^= и
/ оС э
( = 1, 2, А ) механической системы с А степенями свободы в следующем виде:
157. Функция Гамильтона Ж равномерно заряженного вра«^ шающегося шара в однородном магнитном поле с напряженностью h
36 записывается как 2
где і - момент инерции шара, M - момент шара относительно его центра, а у - гиромагнитное отношение. При помощи формулы для производной по времени, написанной через скобки Пуассона, составить уравнение движения для вектора/Г.
158. Гамильтониан частицы с массой т и зарядом <Р которая движется в произвольном электромагнитном иоле,
имеет вид г
X=I +er-
Здесь ?~- обобщенный импульс частицы, а А и <f - электромагнитные потенциалы, являющиеся функциями декартовых координат и времени. Вычислением скобок. Пуассона найти явный вид уравнений Гамильтона
