Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
7. Поскольку обобщенные координаты ^cy, прис^- 1,...,/( полностью описывают положение механической системы, декартовые координаты материальных точек являются определенными функциями переменных ^ и / , которые можно найти из уравнений связи. Это обстоятельство дает право написать = = ^7 ? • *• > faith?* L- 1-) * " N . Дифференцируя обе части последнего равенства по времени, находим скорость как функцию переменных ^ , ^ и / . Подставляя найденные функ-
= и гг= ? кинетичес-
KjTO энергию T=-Lm. ґг ^ и энергию взаимодействия U-
.. выражаем функцию Лагранжа L = T ~ U
в обобщенньл координатах
-? С1,а a, Qr з A -W
oiJi 'c^ Vе сС= / OCy0C у* ? где принять' обозначения
* =?тк 2? *?l g А
uP І*1 L dfy * 1=7 dfa at
W==U-Je: т.,(^ f.
L-I L \ 91 J
Если голономные связи постоянны, то функции = Ґ. (у f-jtyy) при ; /V не зависят от времени t явно. В^эт^м слу-
чае^,- О при Ot= I7,К и величина ? J- O^ ср^ ср^ приобретает физический смысл кинетической энергии системы материальных точек. Наряду с этим имеем W= U , так что величинаW служит потенциальной энергией данной механической системы, когда функция U не зависит от времени явно.
/
К
55 8. L= llhJ^2 X2-t-^ e22^2-m2e^ Sinxfj-^-{oc-e/t
-4
(rriI* rr^) fy+tnZ fy 4? 005 4і » где X - координата кольца, a угол отклонения маятника от вертикали (оси X ).
9# L = гтіЄг+т0Г2)ф2+-^r2-Tg (тЄ+т0г)со$ if-
где ґ— расстояние от точки подвеса маятника до кольца, а угол yj - угол отклонения маятника от направления силы тяжести.
10. L = ~*e2f2i- m^e cos fy +m^f Є cos f-
-CJ,M COS ^fJ,
где Wj и углы отклонения первого и второго маятников
от направления силы тяжести.
§ 2
?
а) '> б) Vfiffti-Vb в) г) 9r=H*b-b),h=i('f,-k)-
12. F = (Fo-Otsc) ,где ^c- орт оси X .
14. Г-Tf2SirZe0+р cos &Q~ О, (1^V)-Q-
15. =
16. r-ryr*= -Jf-(^V)=Oy mZ^eE-mcjZ , где ось Z антипараллельна силе тяжести.
56 17. а) в-(-?-1 ф2оовв)*?п 9 = Sin.2&) =0-,
б) Itrv1 + тг) C1 Cpi + тгЄ2[$гсо?> (Vj-IpJ + ^sirt(VfHj2)]+
+(tTbi- гъг)^ sen V1=^Q1
ег % + со 5 (W1-% У VjSin (Vf - SCVz^O-
в) У* -у- SZpSin (у- JSibjt if>~0,
18. Кинетическая энергия материальных точек равна г? / '2
T=?-> ~2 rricJ/L • Первое и последнее звенья пружины, примыкающие к неподвижной точке, имеют потенциальные энергии соответственно K-J <f2j и .+ Ic^fv +J • Суммарная потенциальная энергия промежуточных звеньев зависит от разности обобщенных координат следующим образом: у — к /о - п •
і si 2 Vi)
Поэтому функция Лагранжа L механической системы запишется как
I=? і fr і Mr fsr- f Kntt ( Ъ.ГМ-
Каждая обобщенная координата удовлетворяет уравнению Лагранжа .
Jt
Вычисляя производные, находим окончательно
rriIf7thiI ЇҐ kZ (Ь~Ї*)!Я0>
+ (?'а/>-> "-'Л
19. Уравнения Лагранжа
JL J ^L aL _ d эь ZL п
Jt 3? эж -Jf---запишем как одно векторное уравнение
Здесь векторный потенциал T~ А(t) берется в точке с
57 радиус-вектором , в которой находится заряженная
частица. Поэтому полная производная по времени в правой части написанного векторного уравнения имеет вид: dД __ ф
^(Іґа.Ь'аа/А.При вычислении частной производной от функции Лагранжа по координате скорость частиць. рассматривается как постоянная, так что угас!L=- TOtA~]-(?<yad
Принимая по внимание полученные производные по времени и координатам, а также используя связь между электромагнитными потенциалами и напряженностями полей, приходим к уравнению Ньютона (?(ft* -?- •
§ 3
20. а) При движении рассматриваемой механической системы энергия S ~ ^ -tStg2Cjr сохраняется. Численное значение энергии определяется из начальных условий, так что закон сохранения энергии принимает вид ^ 2-t 3 t<p fy - 7 . В точках остановки скорость обращается в нуль. Поэтому из закона сохранения энергии вытекает алгебраическое уравнение ^tyfy-I1 корни которого представляют собой возможные точки остановки механической системы. Из бесчисленного множества корней отбираем только соседние два # — — и а ~ , между ко-
' / ь 'го
торыми расположено начальное значение обобщенной координаты ^,(Q)-O , так как при движении механическая система не выходит из области fyj— ? — cP^ » заключенной между двумя соседними точками остановки;
6) If1 = O1 = в) v?), fn(г1/2)¦
Г) b'IvT-*-
21. В случае механической системы с одной степенью свободы закон сохранения энергии дает возможность найти зависимость координаты от времени без использования уравнения Лагранжа (или Ньютона). Например, при движении частицы массы
т в потенциальном поле U(x) закон сохранения энергии
б - ^r Х2-+1/(эс) позволяет выразить скорость как функцию координаты /
//г
58
Полученное соотношение будем рассматривать как дифференциальное уравнение относительно координаты ас . Оно решается методом разделения переменных, согласно которому имеем
duo
Jt = ±
Возьмем интеграл слева равенства по времени t от до t^ (t^ t2 J , а справа по координате от одной точки остановки <?c(tj ) до другой ос (tg J . Неравенству tz) отвечает знак плюс, а неравенству зс(і^) (іг) - минус. Промежуток времени Z2 - і J движения от je(t7) до X. (Ir2) равен времени обратного движения, в результате которого частица проходит те же состояния, но в обратном порядке, возвращаясь в исходное состояние. Значит движение периодично, а период T равен удвоенному промежутку времени Z2-^7 • Полагая
