Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
23'J. Определить траекторию релятивистски;'! частицы с массой т и зарядом б5 , которая движется в потенциальном поле покоящегося заряда ? . Энергия S частицы произволь— на, а момент M удовлетворяет устоьшо Mc-О,Є . где с ~ скорость света в вакууме. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I § 1
1. а) В декартовых координатах функция Лагранжа L материальной точки массы т равна разности кинетической T —
- Jp и потенциальной U= -jb ^fJl энергии ( L-T~TJ ).
При переходе от декартовых JC , у и z к сферическим /¦* , ff и У координатам направим полярную ось сферической системы координат вдоль физически выделенного направления вектора g . Тогда потенциальная энергия частицы в сферических координатах запишется наиболее просто: Jf= + &со5 9 . Чтобы
г* 2
выразить кинетическую энергию T в сферических координатах, воспользуемся тем, что за время dt радиус-вектор частицы получает приращение d, которое можно представить как df**^ ^dh~d9+ I^rSin-Q dy , где , Te и — орты сферической системы координат. Поделив это выражение на dt , находим скорость л"— С Г +Tq ґQ +hSinQip) что позволяет определить искомое выражение для T в сферических координатах. Окончательно функция Лагранжа записывается так
L = jn ^ Г*ё*+ Ssin.2в 4>*)-ф-- ^fii і
г) -f -[^(ГП sV-I1Jf'-^ (П Ч>>
д) согласно общему правилу напишем функцию /Іагранжа L в виде разности кинетической и потенциальной энергий
_ г * {
L- — ту?. > где декартовые координаты ^r , у и *
материальной точки подчиняют-ся уравнению связи Z-F(эс + у2) . Следовательно, независимых координат здесь только две, т.е. данная механическая система имеет две степени свободы. Чтобы функция Лагранжа имела простой вид, выразим ее в цилиндрических координатах г , ^ и E , взяв в качестве независимых переменных г и yj . Входящая в функцию Лагранжа координата в выражается через независимую переменную Г* при помощи уравнения связи Z =F (г2) . Скорость в цилин-
дрических коо]?динатах определим делением приращения радиус-вектораd t^ dp+f^fol*/* -* dz на приращение времени dt, где ^ , и орты цилиндрической системы координат, а
величины Jf , Jy и обусловлены приращением времени.
Поэтому квадрат скорости в цилиндрических координатах запишется так: P2= f +Г Ф + Z . Величина я легко выражается через h ж f дифференцированием обеих частей уравне-
ния связи, что дает ? - - ^У^А В результате функция Лагран—
df
жа в цилиндрических координатах принимает вид
. JTl
L- 2
2. I — R2(O2-t- Sln2Q Фг)-/7?д cos 9 , где полярная
ось сферической системы координат антипараллельна силе тяжести.
3. Функция Лагранжа l> -l>(<j,}i) определена с точностью до слагаемого, представляющего собой полную производную по времени ОТ произвольной функции / - / (у, J і) , зависящей от обобщенной координаты ср и времени / . Такая неоднозначность в определении функции Лагранжа позволяет упростить ее
вид путем прибавления или вычитания величины zV, . Пе—
at , ,
реход от одной функции Лагранжа L=L(^ft) к другой L — Li&t) при помощи формулы преобразования
не изменяет уравнение движения для обобщенной координаты . а) В рассматриваемом случае имеем Z - ^+^cptl-vt+^jjjg^- .
Легко догадаться, что величина atbt входит в правую часть
равенства
Это обстоятельство позволяет записать данную формулу Лаь»
53 гранжа в виде:
L-i'-rfr'wW)-
Опуская последнее слагаемое, приходим к более простому выражению для функции Лагранжа
J^Q2__^___-
L Ї ck2t >
' • 2 ? в ' • 2 / • 2 б) -ff в) L^f ; г) L= f.
4. L = гп j , где Tp - угол отклонения маятника от положения равновесия.
5. При движении материальной точки массы т в вертикальной плоскости X Y кинетическая и потенциальная энергии имеют вид соответственно 7~- (je2+ y2j и U= ~ fritjX. поэтому
функция Лагранжа записывается как L - ~ (je2+у 2) .
Координаты je и у материальной точки связаны между собой при помощи уравнения связи (jc- jcQ ) 'v (у-у0)~^ ' Таким образом, данная механическая система в виде перемещающегося маятника имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты.,полностью описывающей положение этого маятника, возьмем угол Vу отклонения его от оси Л . Тогда координаты je \\ у будут функциями независимой переменной 4J согласно уравнения к?
JT =JC0 (t) + tC(?S Vy У =У0 (t) + сSin У.
Дифференцированием по времени находим Jc ну, что дает возможность выразить L через у/ и ф следующим образом :
L=е2ф2+т еф(уо ш ?-Jcg Sm CcQS ф-t Jp (??* 6X0 )%
Последнее слагаемое является заданной функцией времени и поэтому его можно опустить в силу неоднозначности определения функции Лагранжа. Кроме того, при помощи равенств
JJ-(^oca5V) = ^0 Cosy-X0 ф Sltl^y
¦jfli09irtf)=y0Sin^tyof со 5 cP
54 следует исключить из L полные производные по времени от определенных функций, зависящих от У и t . После этого функция Лагранжа данного плоского маятника принимает упрошенный вид
L = rrtt[-J- ф*- U0 Sirvy +If-X0 J COS Ч>] .
6. L= jIr ^в*+T2SLn2в ~~~ + еQ Здесь по_ лярная ось сферической системы координат параллельна векто— РУ В" •
