Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЖИНЫ одинаковы и равны R . Под действием упругих сил материальные точки могут перемещаться только вдоль окружности, положение которой в пространстве остается неизменньм, Определить вынужденные колебания материальных точек, если частота ей не является собственной частотой механической системы.
127. К нижней материальной точке системы из^ двух пружин, изображенных на рис. 7, приложена сила F-Tf0 COS cot , где вектор F0 направлен вдоль вертикальной прямой параллельно силе тяжести. Коэффициент жесткости каждой пружины равен к . Определить вынужденные колебания материальных точек под действием силы T^r в отсутствии резонанса.
128. Левая CC07 и правая CC02 точки закрепления пружин, изображенных на рис. 4, совершают продольные колебания по закону соответственно ccQ7 = Ct7 Ce? S S7 ? и ооог =CL2 CosQa t . Коэффициент жесткости каждой пружины равен к . Найти вынужденные колебания материальных точек в отсутствии резонанса, считая их массы одинаковыми /Ti7- т2 => т .
129. Две материальные точки с массами т^ и Tnpскреплены пружиной с коэффициентом жесткости к , расположенной параллельно оси X декартовой системы координат. Определить вынужденные колебания под действием гармонических СИЛ F7-exF01cos{?>7t t?7 ) и % = Гх F02 COt (S^ttfg9 приложенных к материальным точкам соответственно т^ и та ¦ Частоты и не совпадают с собственными частотами колебаний данной механической системы} a ^r-Opr оси X.
130. Две материальные точки с одинаковыми массами тгь -=CTZs = гп прикреплены к длинной пружине, свернутой в виде окружности большого радиуса (см. рис. 6). Точка О пружины совершает малые колебания вдоль окружности по закону ClCOS (ЦІ} где ^ отклонение от положения равновесия. Коэффициенты жесткости всех трех звеньев пружины одинаковы и равны k . Материальные точки могут перемещаться лишь вдоль окружности, положение которой в пространстве остается неизменным.
К материальным точкам приложены силы трения соответствен-но/г rnIF1P7 11 ^2= У ^s 1 кОТОРые направлены по касательной к окружности и пропорциональны скоростям с и О, дви-
п г 31 жения. Здесь и ^2- отклонение материальных точек оа положения равновесия. Определить установившиеся колебание материальных точек в отсутствии резонанса.
§ 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
131. Частица массы т движется по кривой У (в вертикальной плоскости XY • Ось Y декартовой системы ко»* ординат антипараллельна силе тяжести. Найти малые нелинейные колебания с учетом первой отличной от нуля поправки, обусловленной нелинейностью уравнения движения, если в начальный момент времени t - О частица находилась в положений равновесия и имела скорость , направленную вдоль оси X . Рассмотреть случаи:
р
а) у- / Sx7 а >о1 ё>а-7 б) у +CXj а>о-7
в) if)> **><>.
132. Функция Лагранжа осциллятора с учетом малых подправок имеет вид
, _ гп { '2 ^ ^ ^ I , rrIa 4
L = ~2~ ( х - Ci^o ж J + ^x + •
В начальный момент времени t-0 осциллятор покоился, а отклонение от положения равновесия было мало: . Найтг ангармонические колебания с учетом первой и второй поправо;, к амплитуде и соответствующей поправки к частоте,
133. Найти малые ангармонические колебания плоского маятника длины и массы ггь с учетом первой отличной о і нуля поправки к амплитуде и соответствующей поправки к час» TOTev В начальный момент времени і = О маятник был от«, клонен от положения равновесия на малый угол V^ и покоился..
134. Механическая система с одной степенью свободы описывается функцией Лагранжа
^iif-coOt*I^iiH3+iff,
где CxJ0 , сС и р — постоянные. Определить малые нелинейные колебания с учетом первой и второй поправок к амплитуде и соответствующей поправки к частоте, если начальные условия при f=i(? имеют вид: f (G)=O и a,(o) = V .
32 Глава II
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
§ 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
135. По заданной функции Лагранжа L найти функцию Гамильтона Ж в следующих случаях:
а)
б) в)
136. мильтона
а)
б)
в)
137.
кулоновском поле неподвижного ядра с зарядом Ze - Определить функцию Гамильтона данной механической системы в сферических координатах.
138. Частица массы т движется по поверхности параболоида вращения je2+*/2= & г . Ось Z антинараллельна силе тяжести. Определить функцию Гамильтона, используя цилиндрические координаты.
13 9. Частица с массой т п зарядом 6 движется в произвольном электромагнитном поле, которое описывается векторным /Г и скалярным cF потенциалами. Используя фуню« цию Лагранжа заряженной частицы
найти ее функцию Гамильтона: а) в цилиндрических координа—
L = - Vf-irff+hla-
Найти функцию Лагранжа L , если функция Га-Ж имеет вид:
Г? f%2 Гъ2
Ж--1-?+ -rT +ZTJT + Ъ % ї* У 2<? 2$г3 2ff r? V ^
Ж= с Vm2Cz+ ' » где rr^ и с " постшн
ные;
* =P*+ P1P2-
Протон с массой т и зарядом є движется
3S01
33 тах; б) в сферических координатах. Здесь с ~ электродинами.» ческая постоянная, равная скорости света в вакууме,
140. Написать уравнения Гамильтона для частицы с массой tn. , движущейся в поле тяжести по поверхности конуса с углом 290 при вершине. Вершина конуса направлена вертикально вниз по направлению силы тяжести. Использовать сферические координаты,
