Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
188. Частица массы гп совершает периодическое движение в одномерном потенциальном поле U- U(x) . Представив период T движения как Функцию энергии 6 , определить адиабатический инвариант I частицы при помощи соотношения
2Я J^ = T в следующих случаях:
а) U —-— • б) U = Ujaaxy в) U = UJetx-If.
COS2OX 1 0T ' р
189. Частица движется в одномерной прямоугольной потенциальной яме:
при 0<\х\ + е, при ?•< ! х I „
С момента времени C = O протяженность ямы адиабатически уменьшается по закону € = € ~Yt . До изменения потенциальной ямы энергия So частицы ~не превышала выссгы потенциального барьера S0-cU0. Найти момент времени t , кої an энергия частицы достигает высоты потенциального барьера.
U(X) =
0
190. Частица движется в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:
^ ; _ Ш j при 0±\х\<Є,
OO при \sc\ .
Внутри ямы имеется потенциальный барьер высоты U& , кото~ рый разделяет между собой неглубокие потенциальные ямки меньшей протяженности (рис. 8). С момента t~Q высота барьера медленно увеличивается по зако— Vt
U(X)
\
О €
Рис 8
ну Ue=V0Il+ - J; J . До изменения по=, тенциального поля энергия ? части— ць; была выше высоты потенциального барьера S0 > TJ0 . Найти момент времени / , когда частица захва—
I Q
тывается одной из двух потенциаль— ных ямок.
191. Маятник совершает малые колебания в наклонной плоскости, которая составляет угол с направлением силы тяжести. Амплитуда ко— Определить амплитуду Ip' колебания как угол наклона плоскости колебаний
лебания маятника ^jq маятника после того адиабатически медленно изменится до значения ? .
192. Под действием пружины шарик совершает гармонические колебания с амплитудой а . С течением времени коэффициент к жесткости пружины медленно уменьшается. Определить закон изменения амплитуды колебания шарика в зависимости от к
193. Маятник совершает малые колебания в поле тяжести. Максимальный угол отклонения маятника иг вергикали
составляет величину ^ . Длина € маятника адиабатически меняется со временем. По какому закону изменяется угол у при изменении длины ? маятника"3
194. Частица массы т движется внутри бесконечного цилиндра с упругими стенками. Определить закон изменения энергии частицы, если радиус R цилиндра изменяется адиабатически медленно.
195. Частица движется внутри сферически - симметричной потенциальной ямы: >-
О пп:т Г< R
и (г)
при при
; R.
44 с момента времени t= О радиус потенциальной ямы медленно уменьшается по закону R -Fq- Vt . До изменения радиуса R энергия частицы составляла величину S0 • Найти момент Бремені когда частица покинет потенциальную яму. НИ L0 » lv^i м "
196. Механическая система совершает колебания вблизи
положения устойчивого равновесия. Найти адиабатические инварианты механической системы, если она описывается следующей функцией Лагранжа:
^sHif* tiJ' /(ь* 4 k % % і af^e-
197. Заряженная частица движется в постоянном однородном магнитном поле. Доказать, что поток магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутую траекторию поперечного движения, остается постоянным при адиабатическом изменении магнитного поля.
198. Гамильтониан частицы с массой т и зарядом е в постоянном однородном магнитном поле с напряженностью Й~ имеет ВИД р
где /Г- векторный потенциал магнитного пояя, а с - скорость света в вакууме. Выбрав векторный потенциал X в виде Ajc--A^-O и Ay = Их , вычислить адиабатический инвариант/ заряженной частицы в магнитном поле. Пользуясь полученными формулами, убедиться в том, что центр круговой траектории частицы в поперечной плоскости смещается при адиабатическом изменении модуля напряженности магнитного поля.
199. Магнитный момент ju создает в пространстве магнитное поле, векторный потенциал которого имеет вид А =
- Л* Г о „ ^
- з . о экваториальной плоскости ju ґ о движется частица с массой т и зарядом е . Исследуя адиабатические инварианты заряженной частицы, определить закон изменения ее энергии <f при медленном изменении модуля вектора ?^ .
200. Напряженность постоянного магнитного поля в цилиндрических координатах имеет вид: tf0 + ff'(г Z} , где первое слагаемое не зависит от координат и велико по сравнению со вторым H0»\fT'\ . Малое слагаемое /Г(г??)
выражается через произвольную функцию f(s) следующим образом:
d?il
45 где ^ и - орты цилиндрической системы координат(^lL-
В данном магнитном иоле движется частица с массой т , зі рядом Є и энергией ? . Движение заряженной частицы можї рассматривать как сложнее, состоящее кз движения ь ',тонере5 н>">й плоскости и перемещения вдоль ос>? Z вместе с поперечной ПЛОСKCCTt,ю. Пусть первое явижс-г-че быстрое, а второе медленное. При помощи адиабатического 'л^'лрпанта, отвечач-'цего поперечному дбїсжєкшо, ї-av; ;:jskob' 'с?змєн0ния гпергии I поперечного движения в оазис:іт.оOCivI: а Используя полу t-.енный результат, определить п&,'люі{ '"' движения частиц вдоль оси Z если tf і -Jzw' . гае а-- некого
рая постоянная.
5 15. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ К ИИ EM ATi п<. А
