Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
113. Под действием внешней силы ^jcF0SLrblaJt-f-oc) осциллятор совершает установившиеся колебания вдоль оси Л
7* " IF*
при^їаличии силы трения J--^nzf X з где орт оси X ,
a ^cic- его скорость. Масса и частота осциллятора равны соответственно m и (M)0 . Длина ненатянутой пружины равна . Определить потерю энергии на трение в единицу времени в среднем за период колебаний.
114^_ В области / на осциллятор действует внешняя сила F= і ^ Fa е slncOt . Определить вынужденные колебания осциллятора массы m и частоты CO0 при наличии силы трения T--LF.^Г^ , где Fszr- орт оси X , вдоль которой колеблется осциллятор, a ^cJC - его скорость.
§ 8. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
115. Определить частоты малых колебаний частицы массы m. f движущейся В поле тяжести ПО поверхности . Ось Z декартовой системы координат антипараллельна силе тяжести, а поверхность описывается уравнением:
а) ж = a. chSjcohSy9
б) 0<z°>M<a'ty<6>116. Определить частоты колебаний механической системы, которая з обобщенных координатах описывается следующей функцией Лагранжа:
а) (ф 9, іг * ф % ^ ?,)-
б> ^ ІІІҐ і
в) і = i(f,+і,ффїі)-Hti'htsФft)і
D л -і {?, ф & fr ф - itf.f ь ф ф,
117. Представить обобщенные координаты в виде суммы нормальных колебаний, если механическая система описывается следующей функцией Лагранжа:
а) f, 4-ф } {?-2,(, h +
б) Z - і(*фгї,Ь*ЧІ)-*>(ф°Л);
г) л- і (іф Ц, it + зф - і {тф Wb
118. Механическая система совершает малье колебания около положения устойчивого равновесия. Представить это движение в виде суммы нормальных колебаний. Функция Лагранжа данной механической системы имеет вид:
а) л-
б) L~'i (ьЬ* Ь iV Ь frfZ-Г) -?(ЇҐ Ь ь t Ф
119. Найти колебания механической системы, если функция Лагранжа и начальные условия при І =¦ О имеют вид:
28а) f2~3( % ' Ці І> % (°) Jj(O)=O',
б) t>=i(i*r+9fb+tlh і (9rb%*ЇІУНРН/0^ U0W*,
в) іVSWf2^
г) 7(ohf2(oho7 %(ol= I.
120. Противоположные концы пружины прикреплены к не.» подвижным стенкам. С пружиной скреплены две материальные точки с массами т>} - га и ( которые делят пружину
в положении равновесия на три части с одинаковыми коэффициентами жесткостирис. 4). Под действием упругих сил материальные точки могут перемещаться только вдоль прямой, проходящей через закрепленные концы пружины. Представить движение материальных точек в виде суммы нормальных коле«* баний.
Рис. 4
121. Невесомая пружина с коэффициентом жесткости к/з расположена вертикально е поле тяжести. Ее концы закреплены. На пружине находятся две одинаковые материальные точки с массами т , которые делят пружину в ненатянутом состоянии на три равные части. Представить движение материальных точек в виде суммы нормальных колебаний.
122. Две пружины одинаковой длины f , но с разными коэффициентами жесткости к, и , расположены на одной пря°. мой. Одним концом они прикреплены к общей материальной точке с массой тг , а их противоположные концы — к материальным точкам с массами /7?/ и т^ (рис. 5). Под действием пружин материальные точки могут двигаться только вдоль
m.f /п? /ТІ,
*/ h
Рис. 5
29прямой, на которой расположены пружины. Полагая /77, — ггь т3 2 т , и л- 2 Kj - 2/п COo .,представить движение материальных точек в*"внде суммы нормальных колебаний.
123. Пружина свернута з ви-1Y да тонкого кольпа. точка О которого
неподвижна (рис. 6). К этой пружи---не прикреплены две материальные
ab к
X точки одинаковой .классы т..^-- ггг^-П'^
с которые вместе с неподвижной точ-
її хоч кольца делят пружину в равно»
n^9 ^ S весном сссточнии но три части с
Jt опжшкоаымн коэффициентами жест-
; іри движении материальные ТОЧКИ. могут перемещаться только пс Рис, 6 контуру кольца. Плоскость кольца
неподвижна, а его радиус не меняется, Определить заXOii движенья материальных точек, еслй v начальный момент времени I'~ О они находились в равновесном положении И имели линейные СКОПОСТИ ІҐ-, - И Jp О
—* / о з
где вектор Ir0 направлен по касательной к кольцу в противоположную сторону от его неподвижной точки.
124. Невесомая пружина имеет коэффициент жесткости к/2 . Один конец пружины закреплен, а с ее середине и на противоположном конце находятся материальные точки одинаковой массы щ. Пружина все время занимает вертикальное положение в поле тяжести (рисо 7). Определить за коп движения механической системы, если в наі.гальньіі момент времени (:-=0 пружина была не натянута, а материальные точки покоились.
125. Двойной плоский маятник совершаем малые колебания в поле тяжести (см. рис. 1 ).
Длины его звеньев одинаковы ^ = ^ = P ,а массы материальных точек различаются в два раза.'/гг-^— т. и тп2пг . В начальный момент времени t ~ О оба звена маятника были отклонены от положения равновесия на один и тот же угол W0 « 7 , а сам двойной маятник покоился. Найти закон движения двойного маятника.
126. Длинная пружина имеет форму окружности большого радиуса (см. рис. 6). Точка О пружины, под действием внеш-30ней силы совершает малые колебания вдоль окружности по заданному закону % = CL C^3u)t% где ^0 - отклонение от положення авновесия. К пружине прикреплены две материальные точки, массы которых различаются между собой в два разаI JTi7-гп и ГП Коэффициенты жесткости всех трех звеньев пру.»