Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
159. Частица массы т и заряда є движется со скоростью ZAr в произвольном магнитнок) поле JT~ rot А , которое описывается векторным потенциалом А . Взяв в качестве канонических переменных компоненты обобщенного импульса Pf=Fic , P2= Py к /5--/J ,а также декартовые координаты JCj = je , се? -у и JC^ =Z , вычислить скобки Пуассона
fe Pj и (^j-
§ 12. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
160. Написать формулы канонических преобразований от старых переменных ? и f> к новым Q и P в тех случаях, когда производящая функция зависит от указанных переменных следующим образом: a) F- Ficjn Q, і) ; б) Cr==Cr (f, П,?) • ъ) fPiP7Qit J ; г) Ф = Ф(Р,Р7 t) . Здесь q, и/=, а также Q и P обозначают совокупности канонически сопряженных переменных, описывающих механическую систему с некоторым конечным числом степеней свободы.
161. Используя формулы канонических преобразований с некоторой производящей функцией, доказать, что якобиан перехода ОТ канонически сопряженных переменных f и P к другим канонически сопряженным переменным CL и P равен единице.
3 7 162. Доказать, что скобки Пуассона {А ? } , составлен», ные для произвольных функций /4 ~ A(ft р^Ы B~B(?fp}t)% инвариант тны относительно канонических преобразований от одних канс-, нически сопряженных переменных ^ И pi к другим (X г.
P , а именно:
\аз I = IASI-
L iPf - PGL '
163. Доказать, что преобразование
от канонически сопряженных переменных ^ и /=к други переменным Cl и P является каноническим.
184. Найти каноническое преобразование от переменных ? и р к новым переменным i< и л3 , которое характеризг -ется производящей функцией
16
о. Каноническое преобразование от переменных и / К НОВЫМ переменным Li И P определено при ПОМOiJ:и производя шей функции CrlfiPj=P^e J > Найти производящую фунь-цию вида F--FifiRj * которая приводит к такому же каноническому преобразованию.
166. Механическая система состоит из материальной то* -ки массы rn , движущейся в произвольном внешнем потевщ.-а льном поле U = V (Fj, Определить производящую функцию бесконечно малого канонического преобразования от перемент х
PrWp? к новым переменным Я и P , которое представляет собой:
а > параллельный сдвиг механической системы как 'іело< : на величину ;
б) поворот механической системы как целого на угол д"^ \
в) сдвиг во времени на величину %
г) переход от одной инерциальной системы коордішат л другой, движущейся со скоростью a V •
167. Преобразование подобия представляет собой nepex- J к системе отсчета, в которой масштаб декартовых осей увеличен в А/ раз, а масіиаб времени увеличен в N* раз. В случае частицы, движущейся во внешнем поле, указанному лреоО разованию подобия отвечает переход от канонически сопряже>— ных переменных V- р~ к новым переменным /f и P^ Убедиться в том, что данное преобразование к переменным R
и P является каноническим и найти его производящую функ-38 Q- которая зависит от переменных ли/3. 111110 16*8. Функция Гамильтона гармонического осциллятора
имеет вид ^ JZt^i <?
Ж - HrnF ? >
_ г, Ґ.} ^ масса и частота колеблющейся частицы. Напи-
ГДЄ ҐП- и /
сать функцию Гамильтона Ж и уравнения і амильтона в ноеых канонически сопряженных переменных # и Pf взяв в качестве производящей функции следующие выражения:
a) F = І т uj^cH
a, = ») Jtfbrp-
169. Показать,, что преобразование от канонически сопряженных переменных <j,(t) И р(Ь) к новым переменным
a(t)=f(tP(t)=p(tf-zr)
в случае гармонического осциллятора является преобразованием вращения в фазовой плоскости. Здесь T- произвольный фиксированный промежуток времени. Убедиться в том. что это преобразование является каноническим и найти его производящую функцию Ф , зависящую от переменных р и P .
170. Частица движется вдоль оси л в одномерном потенциальном поле. Изменению масштаба X - f( t) на оси X соответствует в фазовом пространстве переход от старых канонически сопряженных переменных X. и р к новым переменным X и P . Определить связь между старыми и новыми переменными. Доказать, что переход к. переменным X и P представляет собой каноническое преобразование. Найти производящую функцию Cr этого канонического преобразования, зависящую от переменных je и P .
171. Известно, что переход от одной функции Лагранжа ^ІЯіфгІ) к ДРУГОЙ
Llf,
не изменяет уравнение движения для переменной ^ . Здесь-Произвольная функции обобщенной координаты и времени. С Другой стороны, замене функции Лагранжа , $f t) на новую ^ (^if i^} в фазовом пространстве соответствует переход от пе- ременньїх и f> к новым переменным & и P . Onpes
делить связь между этими переменными. Доказать» что переход к переменным Q и P представляет собой каноническое пре„ образование. Найти производящую функцию Cr этого каноничес», кого преобразования» которая зависит от переменных (р и P
§ 13. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
172. Найти действие 0 как функцию координат и вре . мени для частицы массы пі , движущейся: а) в поле тяжест-. по сферической поверхности радиуса • б) по поверхности конуса с углом 2ва при вершине, ось симметрии которого па рал-лельна силе тяжести, а вершина направлена вниз; в) в потен«.
