Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(4.2)
§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ
287
Внося (4.2) в уравнения Ламе (2.4) гл. 1, убедимся, что функ-
ции ф и т|) являются решениями волновых уравнений
с2Дф = ф, CaAij) = і);, (4.3)
причем cl = 2G(l — v)[p(l — 2v)]_1, Cl = Gp-1.
Известно [12], что волны, описываемые функцией ф, явля-
ются продольными или волнами растяжения-сжатия, а волны, описываемые функцией я|\— поперечными или волнами сдвига. Они распространяются в упругой среде от источника возмущения соответственно CO скоростями Cl И C2.
Перейдем в соотношениях (4.1), (4.3) к подвижной системе координат у' = у, х' = X — Vt (предполагается, что в момент t = 0 подвижная и неподвижная системы координат совпадают). Принимая во внимание то обстоятельство, что
дЦ = у2 бЧ ., ,.
dt2 дхг2' dt2 дхл'
на основании формул (4.1) — (4.3), а также (2.5) гл. 1 придем к следующей краевой задаче:
. „2«ч ,An / R2 _ і z!„2_i_f2X
дх* ду* ' дх* ду* с\” с\
2\ б2Ф _1_ о
Р2Н + Н = 0’ T3B1 + ^ = 0
У=0: (1 + ^)^ + 2^ = ^6(*-?), (4.5)
(1 + ^-2!? = °;
при X2 + у1 -*¦ OO вторые производные функций ф II l[) исчезают. Здесь и далее штрихи у подвижных координат будем опускать. Заметим также, что в процессе вывода граничных условий (4.5) были использованы соотношения
I — T2_2 (I — v) I + T2 — 2р2 _ 2v
!_р2 i — 2v’ 1 —2v*
Для решения задачи (4.5) при ^2 > О и у2 > О (т. е. при
V < C2.) используем интегральное преобразование Фурье. Имен-по, будем искать ф и т|) в виде
ОС ОС
cP = 2я J ф (a, y)e~iaxda, = ^ J W (a, y)e~iaxda. (4,7)
288 ГЛ. 5. МЕТОДЫ. РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Тогда соотношения (4.5) запишутся в форме
Ф'у - сс2р2Ф = О, W" - CC2Y2Y = О, у = 0: - а2 (1 + у2) Ф - 2iaW'y = PG~le*«Є,
— а2 (I + у2) ? + 2іаФ'у = 0;
(4,8)
при у —оо функции Ф и 4F исчезают. Из (4.8) найдем
(4,9)
?=(1 + 72)2 (4РУ)-1.
Далее, по формулам (4.2), (4.7) и (4.9) определим
где d* — бесконечная постоянная.
Обратим внимание, что, когда скорость движения сосредоточенной силы по границе полуплоскости достигает значения F=Fp (Fp<c2), где Fp — скорость распространения волны Рэлея, B = 1 и знаменатель в выражении (4.10) обращается в нуль. При F < Fp перемещение v(x, .0) имеет направление, совпадающее с направлением действующей силы P, а прп FP<F<c2 — противоположное. При F = O формула (4.10) принимает классический вид [13]
На основании (4.10) легко перейти к рассмотрению задачи о движении без трения штампа по поверхности полуплоскости с постоянной скоростью F < Fp. Интегральное уравнение этой задачи в подвижной системе координат, очевидно, будет иметь вид (1.2) гл. 2, а из решения (2.36) гл. 2 этого уравнения, например, будет следовать, что для штампа с плоским основанием распределение контактных напряжений такое же, как в классическом случае (т. е. при F = O). Для ограниченного при ж = +1 решения, определяемого формулами (3.25), (3.26) гл. 2, окажется, что полудлина линии контакта а будет больше, а контактные усилия меньше, чем в классическом случае, при прочих равных условиях, ибо при V-Ф 0 контактная жесткость
2. Интегральное уравнение контактной задачи для упругой полосы при движении без трения по ее границе штампа со ско-
0* = 4Gy (1 — В) (1 — у2)-1 < 0.
§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ
289
ростъю F < C2 (рпс. 5.6) также может быть получено по обычной схеме с помощью применения интегрального преобразования Фурье к уравнениям (4.2), (4.5), а также (2.5) гл. 1 и граничным условиям (в подвижной системе координат)
%tv (х, h) = о, ау (х, h) = 0
(\х\>а), v(x,h)=~g(x) (\х\ =? а),
*М®, 0) = 0, v{x, 0) = 0 (4.12)
(здесь предположено, что полоса шарнирно закреплена по основанию); при \х\ °° напряжения исчезают. В безразмерных
переменных
I'= I а'1, х' = ха~K = ha~\ f(x') = g(x)a~\
ф(і')=5(і)(і-к2)(ад-‘, (4ЛЗ)
где д(ж)—контактные усилия, указанное интегральное уравнение будет иметь вид (7.1) гл. I1 (1.3) гл. 2, причем
*<“> = <4Л4> Нетрудно убедиться, что если V < Fp, то знаменатель в выражении (4.14) положителен и регулярен при всех и> 0, а символ К (и) удовлетворяет условиям (7.12) гл. 1 (задача типа а)).
При любом значении Fp < F < с2 уравнение
th |3и = В th чи (4.15)
будет иметь [12] на вещественной оси Im % = 0 два симметрично расположенных относительно начала координат нуля. Ядро интегрального уравнения задачи в этом случае нужно представить в виде (7.11) гл. 1, (4.14). Можно заключить, что при Fp < F < с2 по существу получается задача типа с). Если скорость F направлена вправо (рис. 5.6), то в качестве контура Г нужно взять прямую, расположенную чуть выше вещественной оси, а если штамп движется влево, *го в качестве Г должна быть взята прямая, лежащая чуть ниже вещественной оси. Соответственно, слева или справа от штампа поверхность полосы, как показывает решение, окажется волнистой (появится волна, уходящая в =Foo).
3. Пусть теперь F > C1 > с2. Введем обозначения Р* = = V2CT2 — 1» 7* = F2C2'2 — 1 (у* > Р* > 0). Тогда уравнения
(4.5) можно представить в форме (это уже будут уравнения
