Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(2.13) гл. 1, которые при р = const принимают форму
Здесь и И V — возмущения скорости основного потока по осям X и у, р — давление. Учитывая симметрию задачи относительно оси х, будем рассматривать лишь полуплоскость у < 0. Граничные условия задачи, очевидно, будут иметь вид: при у = 0
V = O (Ы<°°), U = -V (Ы=?а), Xxy = 0 (Ы >а); (5.20)
кроме того, и MV при X2 + у2 оо исчезают.
Введем в рассмотрение функцию тока if, связанную с и и v соотношениями
При этом убедимся, что условие несжимаемости будет тождественно удовлетворено, а для касательного напряжения Xxv получим выражение
Подставляя (5.21) в первые два уравнения (5.19) и исключая из них функцию р, найдем, что функция г|) должна быть определена из уравнения Осеена [16]
Граничные условия задачи (5.20) примут вид: при у = О
д? = 0 (I ж I < оо), ^ = -V (|®|<а), Aif = 0 (|®|>а);
кроме того, дг|)/дж и д^/ду исчезают при х2 + у2 -*¦ оо.
Используя для решения краевой задачи (5.23), (5.24) интегральное преобразование Фурье *), по схеме решения смешанных задач (§ 1 гл. 1) придем к следующему интегральному
(5.19)
Xxy = ц AtJ).
(5.22)
(5.23)
(5.24)
¦) В силу четности функции ф по J можно рассматривать, например, лишь нижнюю полуплоскость у < 0.
300 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
уравнению:
1
J Ф(S)* dl = я (UKl)1
OO OO
k (t) = Jdu + J 2 [I — y(u)] sinui du, (5.25)
о о
. . от (ах) , V /ч Л / и+ V и2 4- і
Y(«)=|/ ---------2м *
Здесь т (ах) — функция, характеризующая распределение контактных касательных напряжений вдоль пластинки, А-1 — число Рейнольдса. Отличительной особенностью ядра k(t) вида (5.25) по отношению к ядрам типа (1.3) гл. 2 является наличие как четной, так и нечетной по t части. Далее ограничимся лишь рассмотрением случая больших % (малых чисел Рейнольдса). При малых К постановка задачи должна быть иной в связи с возможностью перехода ламинарного обтекания в турбулентное.
4. Нетрудно убедиться, что имеют место асимптотические соотношения
—7—г — —-------К, 2[1 —y(m)]~--------(и-+Оо),
‘ПЩ _8“ 1“ (5.26)
2[1-vM]----------Yl <“ + 0).
Далее, на основании первого интеграла (1.20) гл. 2 и интегралов, получающихся из него почленным интегрированием по t, можно показать, что для ft (і) при достаточно малых t справедливо представление
ft (0= MOlnUI + Za(0.
n-і (5 27)
h(t)= dHtl+ 0(tN) (j = 1,2).
і—0
Здесь (сравните с (8.26) гл. 2)
CO
rf10 = -l, dn = j, d12=-± ^=1^-1 + ^^=0,539,
О
оо
*21 = - I + j Ы [I - Y (и)] +4(1- *“")} T=- °’334'
О ^
оо
-1+4 j’ к ¦- - і - е~">] Ч - °-т¦
о
Следуя методу, изложенному в § 8 гл. 2, будем искать асимптотическое при % оо решение интегрального уравнения (5.25),
§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 301
(5.27)' в виде ф(ж)
Vl
=-[ 2 І COnm(X)Inm^+ 0(^ 1П^)1 (5. — X Ln=O m=o J
28)
Ограничиваясь членами порядка Ar2, по рекуррентной системе соотношений типа (8.29) последовательно найдем функции со00, Ию, СОц, ©20, CO2I и С0ц2. В результате получим
ф(*) =
1 — 2х
~VT-^ I1 + х {dn + d'n ~dn 1п 2К) + ~^
Udi +
+ <ІцСІ2і — dIl In 2А.) + ^dJ2 + $22 — d12 In 2Xj j + O (A, In3 A.)j.
(5.29)
Безразмерное значение силы сопротивления найдем по формуле і
4^Г = nO = 1ф® = jlP20 + 1п 2К + J? ^12 + dM~dnln 2^) +
-1
+ P (dn + dn -dn In 2Я)2 + О (К~3 In3 (5.30) На рис. 5.11 изображены графики величин i|5± = Iim ф (х) VrI — ж2, N0
х->±1
(соответственно кривые 1, 2, 3) в зависимости от изменения параметра InA,. Видно, что с увеличением скорости V движения пластинки сила сопротивления R монотонно возрастает.
§ 6. Суперкавитация профиля в идеальной жидкости
Кавитация, или образование в жидкости паро-газовых пузырей на поверхности быстро движущихся тел,— сложное физико-механическое явление, учет которого весьма важен в задачах судостроения, гидротурбостроения и других областей техники. В общем случае задача кавитационного обтекания
представляет собой нелинейную краевую задачу с неизвестной границей, решение которой составляет значительные математические трудности. Однако во многих практически важных случаях обтекаемые тела являются тонкими (крылья) и возможна линеаризация этой краевой задачи.
302 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Линейная теория [17, 18] развитых кавитационных течений тонких тел дает возможность определить основные гидродинамические характеристики обтекаемых тел в простой форме. Основные допущения линейной теории следующие: 1) относительная толщина профиля мала, профиль слабо изогнут, угол атаки мал; 2) каверна представляет собой замкнутую выпуклую об-
____________ ______ ласть малой относительной тол-
_ у к — ____ ___________ щины и изогнутости; 3) число
^______1I__^p- — - — кавитации (см. ниже) мало.
~ ' п___—_____ ¦" 1 ~~ Рассмотрим постановку задачи
— . 1 . . г \1 .T об обтекании профиля потоком
_ V --J идеальной, невесомой и несжи-
~ •' “ маемой жидкости. Течение без-
