Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Pi (Z) = VrF=I $ (Z) = (2,20)
в) Интеграл от сферических функций первого рода:
І P MP (-U-'
J v (Z) 11 (Z) d - (V - и) (V +, и + I)
(2.21)
г) Связь между эллиптическими интегралами и сферическими функциями:
К (У I — th2 (а/2)) = ch (а/2) Q-,h (ch а).
(2.22)
Воспользовавшись формулами (6,25) гл. 3, запишем (Ъ = = зт/(4Я))
Ф (a) = CP_.A+ia/b(ch Ь) —
-N C
-/2^ СпЬп
n=l X
Zi sh sh 5„ж J "]/ch 6т — ch
dx
Р_»
/г + іа/Ь
(ch&T)dr. (2.23)
Для вычисления внутреннего интеграла во втором слагаемом (2.23) примем во внимание первое равенство (2.17) и
§ 2, ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
277
соотношение (2.18). Будем иметь %
л С sh sh 5„ж , я5„ „
ж) ь- cVSihV>(ch<2'24>
Внося (2.24) в (2.23) и используя выражения (2,20) и (2.21), придадим решению Ф(а) парного интегрального уравнения
(2.16) вид
Jv
Ф (а) = СР_./і+іа/ь (ch Ь) - я sh CrtfnH ( - у + -п, - 4- + у),
71=1 '
(2.25)
Ptl (ch Ь) Pl (ch Ь) - Pv (ch ъ) P1vi (ch 6)
(V — ц) (V + ц + 1) 62
Я (V1Jl)= ^ .... .. , .2
Найдем теперь согласно (6.26) гл. 3 с учетом интеграла (2,24) функцию ф (х):
Ф (х) = —.....-СЬ .-== - 2 Cnbl f Sh &^-‘/2+6,,/bi^.) dr. (2.26)
’ я 1/2 (ch 6 — ch Ъх) J 1/2 (ch 6т —ChH
Далее определим величину неизвестной постоянной С, входящей в соотношения (2.23), (2,25) и (2.26). Для этого вначале в соответствии с формулой (6.32) гл. 3 получим интегральную характеристику N0 решения уравнения (2.15):
No = Q^Jchb) [/p-v,(Chb) + 2 C^-v,4Vb(Cbft)]. (2.27)
Здесь были учтены первое представление (2.17) и тождество (2,22).
С другой стороны, интегрируя функцию ф(ж) вида (2,26), будем иметь
і
N0 = 2 j ф (х) dx = CP-Iji (ch Ъ) — о
N 11
- V2 J CX J i* J P-W (ch И й. (2.28)
П=1
0 х
Изменим во втором слагаемом (2,28) порядок интегрирования. Вычисляя затем получившийся при этом двукратный интеграл с учетом первых равенств (2,17), (2.20) и соотношения (2.21),
278 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
получим
N0 = CP^ (ch Ъ) - я sh Ъ 2 СЛн[-i- + 8f, - 1). (2.29)
С
Сравнивая (2.27) и (2.29), найдем
N P
+ 2С-
/
л (ch ^ Р_1/г (Ch 6) п
/г + бп/Ь
(chb)
+
(>_,л (ch 6)
+ в*лбя(_4 + ^ -і)
Последнее выражение при помощи тождества (2.19) несложно преобразовать к более компактному виду
N
CQ-42 (ch&) = я
П—1
S (v, ц) = Pv (ch Ъ) Ql (ch Ъ) — Qv (ch Ъ) P^ (ch Ъ).
/-Shb2C"S(-T + T- -т)
(2.30)
Для определения постоянных Cn удобно исходное интегральное уравнение (2.11), (2.12) записать в форме эквивалентного ему парного уравнения типа (6.1) гл. 3:
th^n ‘-'"du -2л/ (UKl)1
|ф(а)
Г
J Ф (а) e~iaxda = 0 (| х | > 1)
(2,31)
Подставим в первое соотношение (2.31) выражение для Ф(а)
(2.23), (2.30) и вычислим получающиеся при этом квадратуры (см. ниже). В результате придем к системе N линейных алгебраических уравнений относительно величин Cn:
2(1- акп) хп = 1 (к = 1, 2, ..., N),, (2-32)
Tl=1
в которой обозначено
хп = j- sh (ch Ъ) P-v3+бп/ь (ch Ъ), <?-уа (ch Ь)
akn -----
X
X
QLtf1 (ch Ъ)
^пР-У2+бп/ь ^ch &) ^-Уа+Тй/ь ^ch ^ ~ VkQ-l/t+vk/b (ch ъ) р-1/,+бп/ь (ch ъ) (бп - Tft) C-Va + Vft/Ь (Ch Ь) P-'U + бп/Ь (ch Ъ)
§ 2. ДІІНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
279
После решения системы (2.32) решение исходного интегрального уравнения (2.11) может быть записано в форме (2.26), (2.27), (2.30).
Обратим, далее, внимание на технику вычисления отдельных квадратур при подстановке функции Ф(а) вида (2.23) в (2.31). Например, первое слагаемое из равенства (2.23) при внесении его в первое уравнение (2.31) порождает интеграл
rI = Ip-1
U+ia/b
(ch Ъ)
th A1Kcl )
~=г7л^)е
cda,
который с учетом представления (6.8) гл. 3 переходит в
Л-?Г
du
31 J V2 (ch — ch b) tItaP2 (я2)
*
S
sin awe 1 xda. (2.33)
Для удобства вычисления внутреннего интеграла в (2.33) воспользуемся теорией вычетов [9], разбив его на сумму двух интегралов
С P (а2)
\ і ' ' . —iax7
\-------sin aue da =
> аР, (а2)
2i
I
Pj (а2) *Р9 (а2)'
іа(и+зс)
I
Pi (“2) ia(u-
х)
da
(2.34)
Замечая, что в обоих интегралах (2.34) подынтегральные функции удовлетворяют условиям леммы Жордана, и учитывая, что и + х> 0 и и — х> 0, замкнем контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (положение контура Г указано на рис. 5.4). В результате получим
P1 (а*) aP2 (a2)
sin aue
iaxda
2я
- . I Pl( P-VftU
1+?^;(-га ch^
Подставляя последнее выражение вместо внутреннего интеграла в (2.J33) и учитывая второе представление (2.17), найдем
280 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Аналогично получим
т Г D h\ ^ Pі (а ) _i(xxл
2 I -P-Vj + ia/b (ch &) p j-- - — 7 27 ® =
•f. a(aJ + 6?)P2(aJ)
= 2л. J| e_Vt (ch b) (62_v2)/>;(-Yl)9~1/,+Vft/b “4
j __ Cd1 / і, і. th A%<x Pf (a ) —{ax j
Z3-J Р-«/, + і«/Ь (Ch ft) a(a2 + 62) P2 (a2)
=2^ЫЬ)+М(^М^Г)
x Q-'/z+Vh/b (ch ft) ch 7йж|.
В заключение, опираясь на формулу (2.26), покажем, что под штампом возникают волны контактных напряжений, движущиеся от каждого из краев штампа к противоположному, причем число волн определяется количеством вещественных нулей символа Действительно, допустим, что в (2.26) при п =
