Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Положим последовательно х = 0,1; 0,5. Действительная и мнимая части решения уравнения (7.1) гл. 1, (3.9) (ф(а;) = = фі(ж) + Щг(х)) при К = 0,5; 1 занесены в табл. 5.2. В двух нижних строках приведены значения величин ITV0I и ф,
284 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
определяемые формулами
N0\ = VWf + {NTY, N0 = I-V0 і еіф,
л<2> 1C (3.10)
Ф
. Г
arctS -рр No'1 = J фj (X) dx (j = 1, 2).
Из табл. 5.2 видно, что с уменьшением относительной толщины X = ha~l слоя жидкости при постоянной ее относительной вязкости X-1 (или при постоянной толщине X с увеличением вязкости X-1) наблюдается увеличение модуля относительных значений контактных касательных напряжений ф(х) = ф,(х)+ iq>z(x) в одних и тех же точках области контакта, а также увеличение модуля относительного усилия N0 и модуля угла, характеризующего сдвиг фаз между T(t) и V(t).
2. Перейдем теперь к решению второй задачи, поставленной в § 6 гл. 1. Для этого необходимо построить ограниченное решение интегрального уравнения (7.1) — (7.3), (7.6) гл. 1 с правой частью f+(x) = (x /2) + С. Такое решение Ф+(ж) может быть записано в форме (6.25), (6.33) гл. 3. При этом должно выполняться условие ограниченности (6.34) гл. 3 импульсивного давления ф+(ж) на краях х = ±{ пластинки и условие квазиравновесия (6.27) гл. 3 пластинки на слое жидкости, служащее вместе с (6.34) гл. 3 для определения полного ударного импульса N0. Кроме того, должно быть удовлетворено другое условие квазиравновесия (6.32) гл. 3 (эквивалентное (6.34) гл. 3), с помощью которого можно выразить постоянную С через N0. Действительно, имеем
N0Q j (ch 6) J0
с- J1 .с»,-' 4 = т- <3“>
2
При выводе первого соотношения (3.11) было использовано тождество (2.22) и первое представление (2.17).
Для вычисления интеграла в (3.11) воспользуемся асимптотическим равенством
хг = 2(ch гх — 1) е-2 (е —0). (3.12)
Внося (3.12) в (3.11) и снова принимая во внимание формулу
(2.17) для-Ру(сЬа), получим
d2P j (ch Ъ)
P_i,p/h И Щ - P1 (cli Ь)
Є L 2+є/о 2
--+Ф
ds2
(е->0).
(3.13)
§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕвКІІХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
285
Допустим, что параметр Ъ достаточно мал. Тогда, имея в виду, что [6]
где F(а, у; z) — гипергеометрическая функция, причем
Чтобы вычислить интеграл (3.11) при больших значениях параметра &, воспользуемся асимптотическим представлением (2.36), положив в нем iv = г/Ъ. Подставляя выражение (2.36) в (3.13) и выполняя двукратное дифференцирование по е, найдем
Ja * Ъе~Ъ!г (0,453-8,295?-2 - 2,618?-3). (3.17)
При получении (3.17) использованы следующие формулы [6]:
Здесь If(Z) — пси-функция, С — постоянная Эйлера.
Построим, далее, ограниченное на краях х = ±{ решение рассматриваемой задачи в форме (6.33) гл. 3. Принимая в расчет последнюю формулу (6.25) гл. 3 и представление (3.12), будем иметь
Преобразуя (3.18) с помощью равенства (2.24) и устремляя затем параметр є к нулю, найдем
і sh ЪхР , (ch Ъх)
Решение (3.19) справедливо при выполнении условия (6.34) гл. 3, которое, как уже было сказано, вместе с формулой (6.27)
Pv (ch Ъ) = F V, V + I; 1; — sh2 , (3.14)
из (3.13) будем иметь
(3.15)
I Sh14-+...). (3.16)
J T/ch Ьт — ch bt "]/ch Ьт — ch Ьх
sh Ы sh е/ dt
dx
(е->0). (3.18)
(3.19)
286 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
гл. 3 может служить для определения ударного импульса N0, действующего на жидкость со стороны пластинки. Однако теперь после получения формул (3.18) и (3.19) величину N0 проще определить непосредственным интегрированием соотношения
(3.18) в пределах от 0 до 1. Следуя пути, указанному в предыдущем параграфе при определении значения интеграла в (2.28), найдем
N0 = яе~2 sh Ъ
P і
--+в/ъ
(ch Ъ) P1 ! (cli Ъ) — P J (ch Ъ) P1J (ch Ь)
~ + В/Ъ
откуда, устремляя параметр є к нулю, окончательно запишем
N0 = J0ShbP \ (chb). (3.20)
2
Таким образом, решение поставленной в § 6 гл. 1 задачи об ударе пластинки о слой идеальной жидкости конечной глубины дается формулами (3.16), (3.17), (3.19) и (3.20). В заключение отметим, что решение этой задачи другим методом получено в работе [И].
§ 4. Задачи теории упругости о движущемся штампе
По классификации, данной в § 1, исследуемые ниже задачи соответствуют «режиму установившихся движений». Ранее задача такого класса уже была рассмотрена в § 3 гл. 4. Следующие два параграфа (§§ 5, 6) также посвящены подобным задачам.
1. Пусть в условиях плоской деформации по границе упругой полуплоскости (р, G, v) движется вправо с постоянной скоростью V сосредоточенная нормальная сила P, причем в начальный момент времени координата точки приложения силы равна | (рис. 5.5). Граничные условия задачи имеют вид
у = 0: at = -Pb(x-l-Vt), гху = 0; (4.1)
при X2 + у2 -*¦ оо напряжения в полуплоскости исчезают; 6 (я) — дельта-функция.
Будем разыскивать компоненты вектора перемещений и = {и, v} в форме
и =
бф
дх ду'
5<р V= Tl ¦ °У
dip
дх
(а ди dv . ди
dv
дх
