Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
^30 = 1,571; d31 =-0,3927; d32 = 0,02454.
©ное уравнение {1.10), (1.11) не может иметь более одного решения в Lp (—а, а) (1 < р < 2); при этом
т (х) = со (х) (аг — хг)~ъ,
<й(х)<^С(—а, а). (1.12|
Рис. 5.1
Переходя в (1.10), (1.11) к безразмерным переменным и обозначениям 1' = ?я-\ х' = ха~\
A = Ixa-1, т (x)G i=(p(x'), =»
= / (штрихи далее опустим)', а также учитывая, что
OO
= MO + *М0* (I*13)
получим систему уравнений
і
J [фі (і) К (lJt) - ф2 т к (Ч^)] di = я/, (и < і)
-1
і
(1.14)
J [ф* (I) К (tA1) + Фі (I) К (1X1)] dl = я/2 (| * |< 1).
- 1
OO
OO
OO
§ 1. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА
267
Радиусы сходимости степенных рядов (1.15) равны бесконечности, поэтому дальнейшие действия, основанные на представлениях (1.15), не накладывают на величину Л никаких ограничений. Подставим выражения (1.15) в уравнения (1.14) и, обращая логарифмическую часть по формулам (2.36), (2.37) гл. 2, приведем их к эквивалентной в Lp(—I, I) (1 < /> < 2) системе интегральных уравнений второго рода
фі (ж)
л V
1 — х‘
N1
VT
FADdl
Г ! f fJW
Ari = J ФІ(^ = Ь2Л J YTz
-I -1
¦;dx,:
(1.16)
1 Г / оо оо \
Fj (X) = h - T J Фі (S) 2 ЪгГ + In \t I 2 dyntzn +
— 1 L Vri=O 71—1 J
°° " /
+ (-l)j Фз-ХЕ) 2 d^2n (Ti ^ =
1-х
А
; / = 1,2
Решения уравнений (1.16) будем искать в виде (сравните с (1.12)) фі(я) = (о,(х) (1 — х2)~'к, где
N т
(*) = 2 2^ln(Z) A-2"1 InnA +0 (Л-*- 1пд,+1Л) (/ = 1, 2).
CO
ш—о п=0
(1.17)
Внося ф,-(я) и (1.17) в систему (1.16), а также используя формулы (8.31), (8.32) гл. 2, будем иметь [7]
Фі(з) = - -,А---AnIsI + ^2?, Фг(*) = —TT^=AnZsL-
Л Vl — х%
л Vl
(1.18)
S1 = Aj-ь BjXt + CjXi + О (А-« In3A) (7 = 1, 2),
A1= I + D1 Л-. + (^f + ^Ldis_7 1п 2Л _ Ъ_ d^D\ л_4)
Bi = ~ ZD1A-* - [4 [d.12 + ^d12- d12 In 2Л) - 4 ^11D1
C1 = - [4 [d22 + 11 d12- du In 2Л) + ~ AllDi ] Л"*,
A = ~d31 А-= + (§
л-«,
268
ГЛ, 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
B2 = Zd31A~2 + 4(d32 — -| d3Jdu) Л 4.
D1 = d2l + -| ^11 — d1± In 2Л, C2 = 2 (-| d31du — 2d32) Л~Л
TV1 = + ^іг/гі -^2 = ^21/1 + ^22/21 (1.19)
= ^22 = ^12 = — ^21 = RG2F-1,
G1 = DsA-D1K-2- I\D1 - 9 (d22 + 3-^2 - <*12 ^ 2a) - dfj Л~« +
+ О (A~6 In3A),
G2 = - ^30 - daiA-2 + 0,25 (Zd31D1 - 9d32) A"« + (9 (A~« In3A),
F = + d320 + 2 (D2D3 + d3(id31) A-2 - 0,5 {D3 [,D\ -9 (d22 +
+-Jd12 - d121п2л) - d8\] - 2D\ + d30 (Zd3lD1 - 9d32) - Zdl^A^ +
+ O (A-6 In3A),
D2 = d2j + dn — dn In 2A, D3 = d20 + In 2A.
Практически, как будет показано ниже, формулы (1.18), (1.19) эффективны при A^l.
Для исследования случая малых значепий параметра A (случай больших частот колебаний штампа) рассмотрим интегральное уравнение (1.8), которое в безразмерных переменных имеет вид
J Ф* (I) ** (^х1) ^ = я/ (И <1),; (1.20)
-1
OO
к* (t) = \ К* (и) cos ut du, К* (и) = , 1___—, (1-21)
J У м2 — б2
Заменяя (1.20), (1.21) системой интегральных уравнений типа
(10.3) гл. 2 и используя методику, изложенную в §§ 9, 10 гл. 2, в нулевом приближении получим следующее решение:
ф* (X)=«: (і±?)+«: (1^) -1>* (-j),
(1.22)
№--f-(y=5+erf ^(f)=-is..
Устремим в (1.22) є к нулю. В результате выпишем асимптотическое решение интегрального уравнения (1.10), (1.11) при
§ 1. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА
269
.-1 jT х
TC
+ ехр (i (- in Ц^) U + erf Y-
. 1 — X . 1——1
(1.23)
с точностью до членов порядка 0(Л Ч./V I — х2). Заметим, что с учетом рассеяния энергии в упругой среде при є -> О ДОЛЖНО 8 1. Этого правила будем в дальнейшем везде придерживаться.
Используя (1.23), определим амплитудное значение реактивной силы, действующей на штамп со стороны полупространства, по формуле
N0 = [ ф (х) dx = N1 + IN2, (1.24)
—і
дг0 =/[(1 - 4iA-‘)erf У-2ІЛ-1 + 2n~'h(-2І/Л) Vva + 2гД-‘]. (1.25)'
После разделения действительной и мнимой частей в формулах (1.23), (1.25) с учетом соотношения [6]
erf У—ix = У—2г [С(х)+ г5(ж)] (1.26)
будем иметь [7]
Фі (ж) = Л-1 {/х [S1 (х) + 62 (ж)] + /2 [S1 (х) — б2 (х) — 1]}, ф2 (х) = Л-1 [I1 [— S1 (х) + б2 (х) + 1] + /2 [S1 (х) + б2 (ж)]},,
M*>='(b^PcoSi±i+s(i±i) +
+ (2я T-)"''' “s 1Ti + s (1Tl) • (1-27)
8, (X) _ (2* Iii )¦^ Si» 1+i. - С (Iii) +
+ (ihTiP-"Ti-С (Ti)
= A1J1 + Al2f2J: N2 = Anfi + A2J2,
A11 = A22 = 2Л-1 [^1 (Л) + у2 (Л.)],
A12 = — A21 = 2Л-1 [Yl (Л) - Y2 (А) - 1Ь_ (1.28)
Yi(A) = 25 (2Л-1) + (Л/2) С (2Л-1) + /Л/ясоз^Л-1),
Y2 (A) = - 2С (2Л-1) + (Л/2) S (2A-1) + VrXjn sin (2A_1),
cw=^lcfH- ад=уЫ1тИ-
где С(х) и S(х)— интегралы Френеля [6].
270 ГЛ, 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Таблица 5.1
(1.18), (1,19) (1,27), (1,28)
Л 4 2 * 2 1 1/2
aI 0,293 0,298 0,166 0,308 0,154 —0,205
Pi -0,221 —0,364 —0,692 —0,367 —0,698 —1,769
Cto 0,226 0,275 0,354 0,282 0,399 0,564
P2 —0,154 -0,242 —0,371 —0,282 -0,399 —0,564
a3 0,961 1,065 1,071 1,124 1,111 0,951
Рз -0,688 —1,110 -1,907 —1,172 —1,960 —3,973
