Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 85

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 105 >> Следующая


го (x)^Y

-COS \х

зі IXI V 1 4

найдем из (2.7) при Ы оо

(X, 0, t) = J

— TV0 (х) »|/"-

я\х\

Sin X

W

я \ (2.8)

+ (2.9)

18 В, М, Александров, Е, В. Коваленко
274 ГЛ. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

т. е. получим убегающую на бесконечность волну с убывающей в согласии с (1.4) амплитудой. Однако явление резонанса для данного случая ни для каких частот |х не наблюдается. Система не переполняется энергией.

Указанный на рис. 5.4 контур интегрирования Г получился в результате применения для решения задачи принципа предельного поглощения, однако такой же контур Г отвечает и требованиям принципов Зоммерфельда и Мандельштама. К результатам (2.5), (2.6), как показано в [3], приводит также й применение принципа предельной амплитуды, если, конечно, частота O2 не совпадает с резонансной. На резонансной же частоте произведение w(x, у, ?)e’“' при t-*- оо ведет себя как 0{th) [3].

2. Изложим, далее, алгоритм решения интегрального уравнения (5.29) гл. 1, (2.6), предварительно записав его в безразмерном виде (7.1) гл. 1 с помощью обозначений и переменных (7.3),

(7.4) гл. 1. Напомним, что в случае O2 = О (статический вариант задачи об антиплоской деформации упругого слоя) символ ядра К(%) имеет чисто мнимые нули и полюсы, ядро дается формулой

(7.7) гл. 1, а решение интегрального уравнения при /(ж) —/ = = const можно найти по формулам (6.30) гл. 3. При о2 ?- О

функция К(%) (2.6) имеет нули zn = ± i§n = ± (\/~ п2п2— а'1

и полюсы ?,п=±іУп =±г|/Гя2(?г — 1I2)2- о\ (п= 1, 2, ...), причем, если 0 < O2 < я/2, то все они по-прежнему чисто мнимые. С увеличением о2, соблюдая упорядоченность, нули и полюсы начинают сходить на вещественную ось. Первыми при O2 = п/2 действительной оси достигают полюсы. Соединившись в начале координат в двукратный полюс, они при я/2 < о2 < л растекаются в разные стороны по вещественной оси. Затем эту же процедуру с увеличением частоты повторяют нули и т. д. Если вещественной оси достигнет 2т полюсов, то па ней также окажется 2т — 2 или 2т нулей.

Как отмечено в §§ 3, 6 гл. 3, символ ядра К(%) можно аппроксимировать на действительной оси и в ее окрестности выражением

= 4 = Iimtf(S). (2.10)

>0

Здесь при I < п т положим 8„ = ±izn, = ±г?„, где Zn и — вещественные нули и полюсы функции К(%) вида (2.6), а при т < п =? N величины 8Д и подберем из условий наилучшей аппроксимации символа К(%) вдоль действительной оси выражением (2.10).

Прежде чем приступить к решению интегрального уравнения

і

ФШі^і^-)й? = я/ (UKl) (2.11)
§ 2, ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА

275

с ядром (2.6), выясним вопрос о его разрешимости. Доказано

[3], что если вещественные строго положительные ПОЛЮСЫ и нули функции K(Q) чередуются по мере убывания модулей, а контур Г обходит их, как показано на рис. 5.4, то теорема 5.1 сохраняет свою силу.

Сделаем в (2.6), (2.10) замену переменного ? = Яос и введем обозначения бп = б„Я, уп = упК_ (штрихи далее опустим). Получим

-Hf

th AXa

N і s2

а + °n ^iOC(S-SC)

п

1 а' + т;

da.

(2.12)

Ниже изложим метод решения интегрального уравнения (2.11),

(2.12), аналогичный данному в § 2 гл. 4 для задач типа Ь). Именно, введем в рассмотрение дифференциальный оператор L = d2/dx2, который, будучи примененным к функции exp (~iax), переводит ее в — а2 ехр(—tax). Учитывая это обстоятельство, интегральное уравнение (2.11), (2.12) запишем в форме (сравните с (6.40) гл. 3)

і>,(-Ь)ф(ж) = 2яРа(-Ь)/ (Ы<1), (2.13)

I OO

г|? (х) = J ф (I) dl j" cos а (? — х) dat (2.14)

—1 —оо

где Pi (—t) и P2 (—L) — дифференциальные операторы по х порядка 2N.

Построив общее решение дифференциального уравнения

(2.13), (2.14) для ф(ж), придем к следующему интегральному уравнению относительно функции ф(ж):

і °° г л-

J Ф (I) dl Jth А^'а cos а (I — х) da = п / + 2 Cn ch

(2.15)

(Ы 'S 1),

которое эквивалентно парному интегральному уравнению типа

(6.3) гл. 3:

N T

/ +2 CnChSnJ (0<*<1),

J (2.16)

cos ах da = л

j ф (a)

О оо

j" Ф (a) cos ах da = О (х>\).

Jl=I

Здесь связь между ф(ж) и Ф(а) имеет вид (6.2) гл. 3. Замкнутое решение парного интегрального уравнения (2.16) получено

18*
276 гл. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

в § 6 гл. 3. Это решение будет содержать неизвестные постоянные Cn (ге=1, 2, ..., N), которые можно затем найти из условия удовлетворения исходного интегрального уравнения (2,11), (2.12).

Далее понадобятся некоторые формулы из теории сферических и присоединенных сферических функций [6, 81 (см. еще § 6 гл. 3).

а) Интегральные представления (сравните с (6.7) гл. 3):

РЧ (ch ,) = /1 f ch ' ^ + ¦«‘I d, (RellC*),

Я Г(/2 I1) J (ch <х — ch /) 2 ^ \ 2 /

eS(chct) =

sh^a

OO

Ji

t)

-<v+V2)«

(2.17)

dt

Г (1/2 и) J (ch /— ch а)’^2+11

а

(а>0), Re(v + (і + 1)> 0, Re(x<V2.

б) Рекуррентные соотношения:

I lPv+1 (Z) - Pv-1 (Z)] = (2v + I) Pv (z), (2,18)

P_Vs (z)Qhlt (z) - 0_Vt (z)PLVz (z) = - У*=Т, (2.19)
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed