Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 80

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 105 >> Следующая


В предположениях А на основании соотношений (9.21),

(9.25) можно представить уравнение (9.5), (9.6) в эквивалентном ему виде интегрального уравнения второго рода

ф‘(ж) = со1 (х) Х~1 (х),

(9.37)’

X J Фі (S) In (-Ц7-) — tS (ли) 4 (-Цг-)] н + ^sin ^ +

sin (2лц) j Фі (S) [і'и (Іуї) - tg (Jifi) 4 (9.38)
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ

257

при дополнительном условии

I ( I 11

.,і Г cos (яц) J f fi(t)dt I ? dt /f\w

ArO= J Фі (%)dl “In X + o j Y (t) л J Y (f) J Фї (S) х

-I ^1-1 -1 “І

X [/„ (1^1) - tg (яц) In dl . (9.39)

Допустим теперь, что для функций lij(t) действительны следующие разложения (сравните с (8,34), (8.35) гл. 2):

h (t) = 2 (aiik + bjjk I і I + Cjjk ln|t|) t'k, k=0 (9.40)

^i2 (0 = 2 (a12ft + Ьi2kt In I t I + Ci2/; Sgn t) t (Cjj0 = 0),

fe=0

равномерно сходящиеся при всех ]z] < р. Тогда все результаты, основанные на (9.40), будут справедливы по крайней мере при всех % > 2р-1. Подставим выражения (9.40) в уравнение (9.38) и будем искать его решение в виде

OO OO

cPi(Z)=S S tPimn(Z)^rm InnX, (9.41)

т.—о п=о

Приравнивая коэффициенты в правой и левой частях (9.38) при одинаковых степенях %г1 и InX, получим бесконечную систему соотношений для последовательного определения функций фітп(ж), которую здесь не приводим.

В контактной задаче с трением для упругой полосы, поставленной в предыдущем параграфе, в соотношениях (9.40), как нетрудно убедиться, нужно ПОЛОЖИТЬ Ъцъ = Cijft = 0, причем р = 2. Если при этом функция /, (X) — полином, то при определении <Pimn(;r) из указанных выше соотношений все квадратуры берутся в замкнутом виде с помощью формулы (9.29); кроме того, все квадратуры также берутся в замкнутом виде с помощью формул (9.29) и (9.42) (см. ниже), когда в соотношениях (9.40) только Ьт = C12ft = 0. В общем случае может быть произведено приближенное определение нескольких первых функций ф Imn (Z), подобно тому, как это указано в п, 3 § 8 гл, 2. После нахождения пужного числа функций Cptmn (х) (в зависимости от желаемой точности решения (9,41)) по формуле (9.39) определим величину JV0. Все сказанное здесь о методе «больших X» справедливо и для системы интегральных уравнений (9.3), (9.6)', Подробное изложение метода «больших X» в применении к контактным задачам со сцеплением имеется в [34].

В. М. Александров, Е. В. Коваленко
258 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ

С учетом спектрального соотношения Г. Я. Попова [32]

номы Якоби, для системы уравнений (9.3), (9.6) и для уравнения (9.5), (9.6) можно также развить метод ортогональных многочленов по схеме § 1 гл. 3. Такой метод будет, очевидно, эффективен также при достаточно больших X.

7. Асимптотический метод «малых X» может быть также применен для исследования интегральных уравнений (9.3) и (9.5). Продемонстрируем это на примере уравнений (9.3), поскольку приведенные ниже результаты в частном случае будут справедливы и для уравнения (9.5).

Перепишем систему интегральных уравнений (&.3) в виде

Уравнение (9.43) удобно решать методом последовательных приближений по схеме [33]

Асимптотическое решение интегрального уравнения (9.44) при малых X может быть построено примерно так, как это описано в § 10 гл. 2. Действительно, представим уравнение (9.44)

- Ctg (лц) In 11 — ж I + ^ SgH (I — х)\ -n-V,>(S) =

-1

-1

= л>.„Р<Г'і+,/,,'і+’/’)(*), ХП = (П8ІП(ЯЦ)Г1 (n> I), (9.42)

2>.0 = л sec(ftji)— 2 csc(зт|л)[In 2 + if)(0,5 + (я) —

где if) (я)—по-прежнему пси-функция Эйлера, -Pna*^ (#)— поли-

1



<р(^) = фі(іс) + їфг(^), k(t)= A11(J)+ ігк12(і), (9.43)

і

g{x) = f{x) + Z ( Im ф (I) M (-Цх) d^lf M M = ^22 W ~ kl1

f(x) = fi(x)+ifz(x).

Ф„(x) = Ф,„(x) + іф2„(x)ф(ж). (n->- °°),

I

jФ» (g) к (Ix^) dl = ngn (X) (| * | < I), (9.44)

gn (x) = f (x) + Z j Фг.п-! (I) M (?^) dl, g0 (x) = f (x).
§ 9, КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ в виде системы трех интегральных уравнений °° _1 J Ч>1„ (1^jJ * (1^) = Xgn(X)+ J [р2п (l=i) -

259

dl (—1 <; ж <; оо),

1 00 j ^an (^Т^) к ("Чн ) = ngn (х) + J [фш (-

(9.45)

i).к (-°°<®<1),

OO

I Vn (I)к (~чг^) d^ = ngn ^ (Iх I < °°)*

(9.46)

Ф,

: (X) = Ъп (1^j + (jSr) - V11 ( f) (| * | < 1), (9.47)

где функция gn (х) с сохранением достаточной гладкости продолжена на интервалы — °о<х<— I, 1 < х < оо. Если ядро k(t) таково, что

k(t)~e~m (5t = const>0, Ы-*-°°), (9.48)

а это как раз имеет место для поставленных здесь (п. 1) ив § 8 контактных задач для полосы, то необходимо gn(%) продолжить так, чтобы

J е ',l,gn (х) dx < OO (v<5t).

(9.49)

Решение интегрального уравнения (9,47) может быть найдено с применением теоремы о свертках для преобразования Фурье (см, § 9 гл, 2).

Интегральные уравнения (9.45) очевидной заменой переменных приводятся к следующим:

OO OO

J (у) к (у — s)dy = лgH [Is —1)+| ^211 (у) —

О 2/Х

~ Гп(т~у) k(j~y~s)dy^ (9-50)

оо оо

J ^2п (у) к (s — y)dy = Tign (1 — Is) + J Ftfiljl (у) —

О г/х

~ V,‘ {У~ I")]* [у + 5 — li)dy (0<s<oo).
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed