Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
= 1, 2, ..., т< N величины 6„ являются мнимыми, т. е. на вещественной оси находится 2т нулей функции K(t,). Будем считать, что все эти нули различные, и обозначим 6„ = фп, > 0. Рассмотрим, далее, случаи достаточно больших значений параметра Ъ (малые Я) и заменим под интегралом в (2.26) сферическую функцию P-v2+i3n/b (ch Ьх) ее асимптотическим выражением согласно формуле [8]
р—а/2 Г ( \ \
P_j/2+iv(ch а) ~ -——— ch nv Г т — ivIT (I + iv)e*v“ — л |/jtiv L \ * I
— Г (у + ivj Г (I — iv) e_iva] (а->оо). (2.36)
Учитывая еще, что v = $Jh мало, получим
л sh bxP_i/ +io,b (ch 6т) , р Ё2»р„/ь -2ІРп/ь
j~(chbt-ehte) v?b. dt <2'3?)
(&-> OO, у=еь*',2у
Заметим далее, что имеет место равенство [6]
§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
281'
Продолжим его аналитически в область, где Re у = 0, но Im "f =Tfc 0. Тогда найдем
00
1 vfe* <2-38>
На основании (2.38) для интеграла 1 вида (2.37) при Ъ-*¦ °° окончательно будем иметь представление
j Ъ ( i$nX ~Z0 Г)П\
+е J- (2-39)
2 Jiprt
Подставляя (2.39) в (2.26) и умножая затем результат на e~mt, при Ъ оо получим выражение
2 ... (2.40)
п—т
Первая сумма в (2.40) как раз и дает упомянутый выше набор волн, бегущих от левого края штампа к правому, и наоборот. В случае кратного при ? = 0 нуля символа К(%) (такая ситуация будет возникать, когда безразмерная частота O2 = лп (п=> = 1, 2, ...)) в представлении контактных напряжений (2.26), как показано в [10], две волны аннулируются, а вместо них появляется полином первого порядка.
§ 3. Решение динамических смешанных задач об антиплоском течении в слое вязкой жидкости и об ударе тела о слой идеальной жидкости
Дадим решение задач, поставленных в § 6 гл. 1.
1. Остановимся вначале на первой задаче. Рассмотрим интегральное уравнение (7.1) — (7.3), (7.5) гл. 1 и преобразуем его ядро следующим образом:
00 /------
к (0 = §К{и) cos utdu, К ju) = (3.1)
q Vu іуі
Функция К(и) в (3.1) является комплекснозначной на вещественной оси, поэтому для удобства дальнейших рассуждений
Ф (х) е
-iat
Cbe
—tot
Yeb- еЬх
т
П=1
]-
282 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
отделим в (3.1) действительную и мнимую части. Будем иметь
OO
к (t) = Ic1(I) + ik2(t), кj(t) = J Kj(u) cos ut du (/ = 1,2), (3.2)
v , , I Ith I^u2 — ік th lAt2 +
K1(U) =т\ г--------------- +
Vu2 — іх V и2 +
A I f
K2 (и)
I / th Yu2 — ік th "Vи2
(3.3)
\ I^lt2 — ІУ. У и2 + іх )
! несложных ВЫКЛ (в . — A th А . t.a
K1(U)
После несложных выкладок из равенств (3.3) получим (А+ — А_ th А+ tg А_) th А+ + (0_ + А+ th А+ tg А_) tg А_ г (l + tli2 А+ tg20_) ’
^ , ч (0_ + 0+thA+tgA_)th0+-(A+-A_thA+tgA_)tgA_ 2(М)_ r(l+th2Q+tg2Q_)
(3.4)
г = Уи2 + х2, 0± = T 0,5 (г ± Ui).
Изучим асимптотическое поведение действительной и мнимой частей (3.4) символа ядра К(и). В случае и -> О имеем
А_ th У х/2 + A, tg 1/йТ2 th Уй/2 — А_ tg Уй/2
------------уШ------------• КЛи)---------------уШ--------------’
____ ____ ______ ____ (3-5)
А± = I ±th У х/2 tg У и/2, B = I + th2У X^tg2 Ух/2,
а в случае и -> оо найдем
Ку(и)~и~\ К2(и) ~ х(2м3)-1. (3.6)
Нетрудно заметить, что символ K1(U) обладает такими же свойствами по и, как символы в задачах типа а), символ К2(и) имеет более сильное убывание на бесконечности. Основываясь на результатах (3.5), (3.6), можно заключить, что
(?)---In Ul, k2(t) ~ V4Xi2 In Ul (?- 0) (3.7)
и kj(t) исчезает при Ul-*-00 в силу теоремы 1.13 по крайней мере как Ul-1. Обратим еще внимание, что при малых х = = со/і2рц-1 символы Kj (и) принимают вид
K1(U) = t^ +О (к2), К2(и) = к is^u -2и) + 0(к% (3.8)
и 4и ch и
Основываясь на выражениях (3.2), (3.7) и (3.8), представим теперь при достаточно малых х ядро (3.1) интегрального
§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ 283
уравнения задачи в форме
k(t) = — In
th
яг
sh 2 м — 2 и 4и3 ch2 и
+ іхк* (t) + О (к2),
cos ut du,
(3.9)
где оценка по х является равномерной по t є [0, OoJj д &а(і)є#}-Е(—R, R) (Д<оо) и исчезает на бесконечности как Ul-1.
Решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (3.9) при
х = 0, очевидно, дается формулами (6.30) гл. 3, в которых в согласии с (7.3), (7.5) гл. 1 следует положить /= I, TV0 = Г (^F)-1, где T — усилие, приложенное на единице длины протягиваемой
Таблица 5.2
я=о,5; <=0,1 X=I ; и=о,і я=о,5; и=0,5 X= ; >t=0,5
ОС ф,(ж) ф2(ж) ф,(ж) ф,(ж) ф,(ж) Ф2(ж) ф,(ж) Cp2(X)
0,0 0,2 0,4 2’6 0,8 0,95 2,00 2,01 2,02 2,09 2,36 3,85 —0,07 —0,07 —0,07 —0,07 —0,07 —0,08 1,04 1,06 1,09 1,19 1,47 2,62 —0,03 —0,03 —0,03 -0,03 —0,04 -0,05 2,01 2,02 2,03 2,09 2,37 3,87 -0,34 —0,34 -0,34 —0,34 —0,34 -0,42 1.05 1.06 1,10 1,19 1,48 2,64 —0,16 ’ —0,16 —0,17 —0,17 —0,17 —0,25 :
IiVoI 4,89 2,88 4,95 2,92
Ф (Рад) —0,030 0,025 -0,15 -0,13
в жидкости полосы и обеспечивающее ее движение со скоростью V. Для решения уравнения (7.1) гл. 1, (3.9) при х>0 и всех ^є(0, оо) применим метод ортогональных многочленов, основанный на использовании спектрального соотношения (7.24) гл. 3. Отметим, что обоснование этого метода для указанного уравнения может быть произведено по схеме, изложенной в § 8 гл. 3.
