Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Получим теперь формулы для подсчета угла сдйига фаз <р и модуля комплексной амплитуды колебаний полосы /0 = = /exp(icp). Для этого перепишем уравнение движения полосы
(5.3) гл. 1 в форме
тС-1ф-м)" = Т0е-ш-^,е-ш (T0 = T(aG)-\ ImT0 = O).
Произведя в последнем уравнении разделение действительной и мнимой частей, в согласии с (1.19) и аналогичными формулами
(1.28) получим
T0 = !,(All- TnG-lGi) +A12J2, 0 = JlAil + (A22-mG-1 а2)/2. (1.29) Решив систему (1.29) относительно /1 и /2, найдем
¦ tg ф = UfT1 = ЛіЛЗ W (раТ1 — ^22A2]-1,
/о = Vfl +fl = T0X2 {[m(pa2)’1 - ^11A2]2 + АІ2Л*Ґ/г. (1'30) Результаты вычисления величин ф, (0) = aji — Р,/2, фг(0) =
= pi/i + OC1Z2, фі (I) = OC2A- hf2, фг (I) = Р2/1 "Ь ОС2/2 (фі (1) =
= lira фj (х) VI Xi /=1, 2), N! = ciifi ^3/2, N2 = ftifi 0С3/2, «->1
§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
271
произведенного по асимптотическим формулам (1.18), (1.19) и
(1.27), (1.28), сведены в табл. 5.1. На рис. 5.2, 5.3 даны графики изменения модуля комплексной амплитуды колебаний штампа JoTq1 и Угла сдвига фаз ф = arctg (/2/х г) в зависимости от безразмерной частоты Л при различных значениях безразмерной массы т(ра2)~‘. Сплошные линии соответствуют формулам для
больших А, а штриховые — для малых Л. Видно, что модуль комплексной амплитуды Z0T^1 уменьшается, а угол сдвига фаз ф увеличивается с ростом Л-1 и т(ра2)~‘, что вполпе соответствует физическому смыслу задачи.
Вычисления показывают, что с достаточной для практики степенью точности происходит смыкание найденных приближенных решений при больших и малых А в диапазоне Ає(1, 2).
§ 2. Решение динамической смешанной задачи
об антиплоекой деформации упругого слоя
1. Вернемся к рассмотрению динамической контактной задачи о чистом сдвиге полосовым штампом упругого слоя, поставленной в § 5 гл. 1. Внося разложение (сравните с (9.44) гл. 2)
OO
(^(“-г)) <2Л>
в равенство (5,28) гл. 1, представим соотношение (5,27), (5.28) гл. 1 в виде
о° - Д
w* (? h) = ± 2 I Т (1) ехр (“ IJSrLVAYn-*2) dl
П—1 у Уп _а
(2.2)
(х2 = k2h).
272
ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Устремим теперь в (2,2) параметр в к нулю, чтобы получить решение исходной вспомогательной задачи. Будем иметь
OO а
Gw (х, h, t) = 2 f J- - JT (I) ехр Yfl — Oa-Itfindg
п=1 у in — °г -а
(а, = Ъшг1). (2.3)
Заметим, что "^ = я/2, и предположим, что т (і)є/),(-и, а) (1<р<2). Пусть а2 < я/2; тогда при Ы оо, как нетрудно видеть, решение (2.3) исчезает; имеют место стоячие волны (координаты и время отделены). Энергия на бесконечности не излучается; сдвиг фаз отсутствует, поскольку в этом случае интеграл (5.28) гл. 1 при є = 0 веществен; подынтегральное выражение при всех |м| < оо регулярно.
Пусть теперь O2 = я/2. Перемещение w(x, h, t), определяемое формулой (2.3), обращается в бесконечность — явление резонанса. В подынтегральном выражении формулы (5.28) гл. 1 появляется при є = 0 на действительной оси двукратный полюс
в нуле.
Резонанс — это переполнение системы энергией; после прохождения резонанса, т. е. при дальнейшем увеличении частоты
о2, должна появиться в соответствии с принципами Зоммерфель-да и Мандельштама волна, которая уносит энергию. Действительно, пусть я/2 < O2 < Зл/2 = у2. Легко заметить, что в (2,3) появляется слагаемое, представляющее собой уходящую на бесконечность волну; оно имеет вид
А_ ехр \ixh~1 VaI— Yx — (х>а),
А+ ехр ixh~x VaI — Yj ~ (х<С. — а), (2.4)
а
Подынтегральное выражение в (5.28) гл. 1 при є = 0 теперь уже комплексно и имеет на вещественной оси два полюса:
Yx- Энергия уносится и излучается на бесконечности; налицо сдвиг фаз. Далее, увеличивая частоту O2 и рассуждая аналогичным образом, убедимся, что при ^n<o2< y^+i в решении (2.3) появится N уходящих на бесконечность волн вида
(2.4). Подынтегральное выражение в (5.28) гл. 1 при є = 0 бу-
§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
273
дет иметь уже 2 N полюсов и = ± У — Yi, ±1^2 — ...
• • •, ±j/"Ог — YAr- Частоты O2 = Jn (п = I, ..., N) являются резо-
нансными.
При O2 > V интеграл в (5.28) гл. 1 для случая в = О нужно понимать в смысле главного значения по Коши либо, используя свойства интегралов Фурье, деформировать контур интегрирования в комплексной плоскости ? = и + iv таким образом, как показано на рис. 5.4. Здесь точками отмечены полюсы подынтегральной функции, а стрелками показаны направления движения полюсов с увеличением частоты о2.
С учетом сказанного фор- р
мулы (5.27), (5.28) гл. 1 и '
в случае є=0 можно переписать следующим образом:
W1
а
(х, h) = ^ j т (6) к (Чг1)
(2.5)
і г т/ th V?-°t
= K(I)=- (2.6)
г у ? — °2
Соответственно, рассматриваемая смешанная задача сведется к интегральному уравнению (5.29) гл. 1 с ядром вида (2.6).
Для задачи, изученной в предыдущем параграфе, из (2.5),
(2.6) при h оо с учетом (1.13) можно получить
W1
а
<*• °> = - гП [*• (lTi) -11 ‘ (lTi)]т <5) dt (2'7)
Принимая теперь во внимание асимптотические формулы, справедливые при больших значениях аргумента [6],
