Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ф = (х — Р*у — 5) + {% + + 2?? — 5) +
+ AjS (х — K1J + ^Kh — 5), 3
¦ф = B1S (х — у*у — 5) + B2S (х + у*г/ + (?*? + y*h — g) + * '
+ B3S {х — у*у + 2(?*? — 5),
удовлетворяющем уравнениям (4.16). Здесь S(t)= V2(lt|—t) и S1(I) = U(I).
Находя с учетом (4.32) перемещения и и у по формулам (4.2) и удовлетворяя последним двум условиям (4.31) при
х > — y%h + |, получим
+ ^2 + У*В2 = 0, Р* (^i — -^2) + B2 = 0. (4.33)
Удовлетворяя далее первым двум условиям (4.31) (или, что более удобно, условиям (4.21)) при ж > — h (р* + у*) + 5» будем иметь
(уі - 1) Л + 2y*Bt = - PG-1, (уі - I) (A2 + A3) + 27*53 = 0,
(4.34)
(у* -1) B1 - 2р«А = о, (уі -і) Ba + 2К (А - Л) = 0.
Решая систему уравнений (4.33), (4.34), определим Ai и Bi (і = 1, 2, 3) и затем получим по второй формуле (4.2) следующее выражение для v (х, 0) при х > — h ((?* + 7*) + Ъ
V (х, 0) = PQ;1 [П (х - D - DU (х + 2Kh - E)], (4.35)
где 0* имеет вид (4.24), а постоянная D равна
,4 36
2p,v, (В* + I) (P*v* + 1) 1 >
Знак D определяется знаком величины
Р*У* — I = Vr (Cf — 1) (т — I) — 1, (4.37)
V2 4 V2 а I — 2v Ir. ^ ^ 1 \
г=-,--, (о<е<т).
294 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Нетрудно убедиться, что D>0, если а> I + є, и -0=? 0, если
о «? 1 + є.
5. Перейдем, наконец, к рассмотрению задачи о движении без трения со скоростью V > с, > C2 штампа по границе упругой полосы, жестко защемленной по основанию. На основании (4.35) придем к необходимости решения следующего интегрального уравнения относительно неизвестных контактных давлений q(x):
а
j q(l)[U(x~l)-Dn(x + 2^h-l)]dl =
— а
= — 0* [б + ах — г (х)\ (|ж|<;а), (4.38)
Дифференцируя обе части уравнения (4.38) по ж и принимая во внимание, что П'(і)=6(і) (б(t)—дельта-функция), найдем
а
j д(?)[6(®-?)-Д6(® + 2р*Л-?)]<? =
— а
= — 0* [« — г’ {х)\ (|ж|<а). (4.39)
Если относительная толщина слоя достаточно велика, а именно К = hja > Phi 1J то на основании свойств дельта-функции из (4.39) получим для q(x) выражение (4.27). Если же но А> 2(Р* + Y*)-1,, то из (4.39) будем иметь
q(x)= — 0*[а — г’(х)\ (a — 2(?*? < ж<а),
(4.40)
q (х) — Dq (х + 213*?) = — 0* [а — г' (ж)] (— а <; х < а — 2(?*?).
Второе соотношение (4.40) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка [14]. Напомним, что уравнения такого типа уже ранее рассматривались в § 5 гл. 4.
Далее ограничимся рассмотрением случая плоского наклонного штампа (г'(ж)= 0, а<0). Кроме того, заметим, что при о=1 постоянная D = —2, а при о °° имеем D = 2; выше также было указано, что D = О при 0 = 1 +є. Более того, можно убедиться, что при любых є и о справедливо неравенство \D\ =? 2. Ниже ограничим диапазон изменения скорости штампа V значениями, когда О < D < 1.
Нетрудно убедиться, что частное решение неоднородного разностного уравнения (4.40) имеет вид
3 (X)= -0*а(1 -D)~\ (4.41)
Также нетрудно проверить, что общее решение однородного разностного уравнения (4.40) дается формулой
g„ (X) = - 0*aarx/(2p*ft) (I - D)~\ (4.42)
§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ
295
Таким образом, решение уравнений (4.40) можно представить в форме
q(x)=—0*а (а — <.х^.а),
(4.43)
q(x) = - 0*00(1 - DY1 [l + CD~x,m*h)\ (-а<ж < а — 2(?*?).
Подставляя (4.43) в интегральное уравнение (4.38) и рассматривая значения а — 2(?*? < х^а, найдем
0*а (а — х) = — 0* (б + ах), б = — аа; (4.44)
рассматривая же значения —— 2(?*?, придем к соотношению
0—2 а—2|5*й
j q0(l)dl-D j q0(l)dl = (4.45)
X х+2р*й
откуда с помощью (4.42) определим
С =ох+а№М{I - Dy1 In I). (4.46)
Итак, при значениях —а^х<а— 2(?*? контактное давление имеет вид
q(x) = - 0.^(1 - D)~2 [l - D + Dx+(a~x)iiРвЛ> In D]. (4.47)
Далее несложно получить формулы для вдавливающей силы P и эксцентриситета приложения силы е, аналогичные (4.28) и (4.29). Анализ формулы (4.47) показывает, что при ограничениях 0 < D < 1 и < 1 давление q(x) на интервале
— а^х<Са — 2(?*? монотонно возрастает при х —а. Отношение |х давления в точке х = а — 2(?*? — 0 к давлению в точке X = а — 2(?*? + 0 дается формулой
ц =(1 — D + D1InD) ({ — D)~2. (4.48)
Видно, что при D = O скачок давления в точке х = а—2(?*? отсутствует, а при D-*- 1 неограниченно возрастает.
§ 5. Задачи о двпжеиии тонкого профиля в жидкости
1. Пусть тонкий слабоизогнутый жесткий профиль обтекается потоком сжимаемой идеальной жидкости (рис. 5.9), причем течение установившееся и безвихревое. На бесконечности (х = —оо) имеем плоскопараллельный поток, скорость которого
V и давление р*. Форма верхней границы профиля описывается уравнением y = fi(x), а нижней — у = /2(х). Очевидно, на профиле Vna = Vns = 0, и, кроме того, по условию Жуковского верхняя и нижняя струи жидкости подходят к его задней кромке
296 ГЛ. о. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
X = а с одинаковыми скоростями, т. е. у„в = vaH (vn — скорость частиц жидкости по нормали к профилю, Vs — скорость по касательной, значки «в» и «н» означают соответственно «верх» и «низ»).
