Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 79

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 105 >> Следующая


новых переменных Xі, |2 и воспользовавшись формулой (3.2) гл. 2, найдем

і

N0 [In X + Z11 (0) + Z)(x] + iQ0 = cos (яц) J -у ф .

(9.23)



Отсюда для случая системы (9.8) запишем

і

(9.24)

і

а для случая уравнения (9,11) найдем

(9.25)

(9.26)

<я+1*-&Г+

(l = -|- -щ, В+ = const j,

(9.27)
254 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ

причем неравенство (9.27) выполняется при любых х и | е <=[—(}. р]. Аналогично, в случае нечетной функции f(x) получим

причем неравенство (9.28) выполняется при любых х є [— fj, (}] и 0<е<||1<р, Заметим еще, что имеет место формула [32]

В частности, из (9.29) вытекает (2,21) гл. 2 при |.i-*-0.

Имеет место следующая

Теорема 4.6. Если f(x) сн #“+1(— I, 1) (п> 0, 0<сс<1), то функция фо(ж), являющаяся решением интегрального уравнения (9.14), имеет вид

причем ю0 (х) е Hn (— I, 1), где у = а, если а < 1, и ^ = 1 — б, если а = 1.

Пусть сначала функция f(x) является нечетной. Используя интеграл (9.29), представим выражение (9.21) для ф0(ж) в виде

где Р2„+і (х) — некоторый полином степени 2п+1. Легко убедиться, что Фп(х)єі/Ї(-1, 1). Кроме того, из (9.27) следует, что г, окрестностях точек х = ±1 функция Фп(ж) ведет себя как (1 + ж)"+а, Остается показать, что интеграл

/(*) — *2 Il"/(S) г1] <tf_|*-sr+n (В- =Const),

ft=O 1

(9.28)

і

з

(9.29)

Qn (х) = 2 ат (ц) Xn т,

П

(z)n = z(z+l)...(z+n-l), (Z)0=I.

фо(ж) = O0(^)X-1 (ж),

(9.30)

1

= 3?" ArO - COS (яц) J (g) dl + Р2п+1(х) +

+ 0,5ФП (х) sin2jt|j/, (9.31)
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ

255

как функция X принадлежит !!„(—I, 1). Это может быть произведено по схеме доказательства теоремы 2.2 с привлечением леммы 2.4. Заметим еще, что случай четной функции f(x) рассматривается аналогичным образом с использованием (9,28).

5. Перейдем к изучению структуры функций ср) (ж), удовлетворяющих интегральным уравнениям (9,9), (9.10) и (9,12),

(9.13). При этом будем рассматривать два основных варианта:

A) Ijj (t) = Cjj 111 + Gjj (t), I12 (t) = b12t In 111 + Gi2 (t), ^

Gij(I)*= Н\(-2/Х, 2/Х) (0<Р<1, X > 0);

B) Iij (t) <= Н?л+1 (— 2/Х, 2/Х) (0<Р<1, т^О). (9.34)

Кроме того, предположим, что решения ф) (х) уравнении

(9.9), (9.10) существуют в Lq(—I, I) (KgC 2), а уравнения

(9.12), (9.13) — в Lq(—I, 1) (1СдгСи^2) при заданном значении X s (0, °°),

Для указанных вариантов выясним свойства функций fj (х) вида (9,10) и (9,13), С учетом (9.33) перепишем (9,10) в форме і і

/) (х) = — -?- J [ф? (E) + ФІ (g)] 1E — х I dl ± J [ф- (I) +

-I -1

1

+ ФІ (I)] (I - X) In dl - ± j [ф? (I) + ф/ (E)] [Gjj (I^i) -

-1

1

- Gjj (0)] dl ± ? j [ф? (I) + ФІ (E)] G12 dl. (9.35)

-1

На основании допущений А относительно свойств функций а также с учетом свойств функций ф? (х) и фj (х) не представляет труда показать, что третий и четвертый интегралы в

(9.35) как функции от х принадлежат H1 (— I, 1), Для исследования первых двух интегралов в (9.35) продифференцируем их по х. Будем иметь

і і

[ф? (E) + ф] (E)] sgn (Е — x)dl, j [ф" (E) + Фі (S)] In +1

— I

dl.

(9.36)

Используя неравенство Гельдера (3,16) гл. 1 и свойства функций ф® (ж), ф] (ж), можно доказать, что первый интеграл (9.36) как функция х принадлежит Hra (— I, 1), а второй— Hr0 (—1, 1), где г = inf [(?— l)/p, iq — i)/q\ 6 положительно и сколь угодно мало. Следовательно, первый иптеграл в (9.35) принадлежит
256 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ

Hl (— I, 1), а второй — Н\ б(—I, 1). Таким образом, для варианта А f) (х) е H* (— I, I), s = inf (г — б, [})’. Для варианта В на основании сделанных допущений относительно Gij (t), а также свойств ф® (х) и cpf (х) легко найти, что /|(х)єЯІ+1 (— I, I). Относительно функции /1 (х) вида (9.13) аналогичным путем могут' быть получены такие же результаты.

Теорема 4.7. Если f(x)^H%(—I, 1) (0<а<1), справедливы допущения А и решение системы интегральных уравнений

(9.9), (9.10) при заданном значении Ае(0, °°) существует в Lq(—I, I) (I < g < 2) (решение интегрального уравнения (9.12)',

(9.13) существует в Lq(—I, I) (I < q < х < 2)), то оно имеет вид

причем CO1 (х) еЯр(— 1, 1).

Теорема 4.8. Если / (х) е Hf (—1,1) (0 < а < 1)', справедливы допущения В и решение системы интегральных уравнений

(9.9), (9.10) при заданном значении Ае(0, °°) существует в Lq{—I, 1) (1<<7<2) (решение интегрального уравнения (9.12)',

(9.13) существует в Lq(—I, I) (I < q < % < 2)), то оно имеет вид (9.37), причем со1 (х) е H1m (— 1,1) и I = при < I, I = = 1 — 6 при ^ = 1.

Здесь ф1 (х) = фі (х) + іфг (х) для случая системы уравнений

(9.9) и ф1 (х) = ф! (х) для случая уравнения (9.12). Доказательства теорем 4.7 и 4.8 легко следуют из теоремы 4.6 и вышеуказанных свойств функций /} (х).

6. Рассмотрим вопрос о решении интегральных уравнений

(9.3) и (9.5). Выясним, в какой мере здесь могут быть использованы ранее изложенные методы. Нетрудно убедиться, что асимптотический метод «больших X» возможно перенести на указанные уравнения без существенных изменений. Продемонстрируем это на примере уравнения (9.5), (9.6).
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed