Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5.12 вихревое, установившееся; ско-
рость набегающего потока V постоянна. Система координат свдзана с профилем, как показано на рис. 5.12; профиль описывается уравнением y = f(x).
Так как течение безвихревое, то существует потенциал скоростей ф(ж, у)= Vx + ф0 в форме (2.17) гл. 1. Поскольку жидкость цдеальная, несжимаемая, то уравнение (2.19) гл. 1 вырождается в уравнение Лапласа
Дф. = о (а-? + 5). (W)
которое справедливо всюду вне тела и каверны.
Заметим, что компоненты вектора скоростей в жидкости для точек, соприкасающихся с профилем, согласно (5.4) представимы в форме
". = 1' + %. ',-(f+Df» (6.2)
Пренебрегая далее 'во втором соотношении (6.2) произведением малых величин, запишем условие непротекания на нижней поверхности профиля дфо Zdy=Vf'(х). Теперь применим интеграл Коши (2.18) гл. 1 для двух сечений: для точек, бесконечно удаленных, где давление р* = const, и точек, лежащих на поверхности каверны, для которых выполняется условие постоянства давлений Po = const,
TF2+7 = ^ + ^) + 70- (6-3)
Линеаризуя соотношение (6.3) в согласии с равнствами (6.2), будем иметь (сравните с (3.25) гл. 4)
Обычно предполагается, что число кавитации а неотрицательно.
§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 303
Таким образом, пришли к необходимости решепия уравнения
(6.1) при следующих краевых условиях:
Здесь в первых трех соотношениях (6.5) на основании предположений 1)—3) все величины снесены на ось абсцисс; ±0 означает соответственно приближение К ОСИ Ж из области положительных или отрицательных значений у; последнее условие (6.5) означает отсутствие возмущений плоскопараллельного потока на бесконечности.
Заметим еще, что
где р (х) — давление на нижней кромке профиля, у = Frk (х) — уравнения верхней и нижней кромок каверны. Функции р(х) (0=? ж =Sl), F+{x) (0=? х =SZ), F-(x) (I =?a:=SZ), а также
величина I подлежат определению в ходе решения задачи.
Введем в рассмотрение вспомогательные неизвестные функции
у (х) = (pF2) 1 [р (ж) — р0] (0<ж<1), Y (ж) = 0 (1<ж <Z),
(6.8)
q (ж) =У+ (ж) — /' (ж) (0 <1 ж <11), q (ж) = F'+ (ж) — (ж) (1 <! ж I).
~° = Vf'( ж) (у= -0, 0<ж<1),
~ = j Va (У=- 0, l<x<Z)s
~° = jVa (у = + 0, 0 < ж < I),
(6.5)
g = (PF)-1 [pt-р (ж)] (у=-0, 0<ж<1),
d^ = VF'+( ж) (у= +0, 0<ж <Z), (6.6)
(у = — о, 1<ж<0,
(6.7)
В силу формул (6.5) и (6.6) имеем
Из (6.8) видно, что ч(ж) — безразмерный скачок давления вдоль профиля, поэтому подъемная сила может быть выражена
304 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
формулой
I 1
р = pV*JY(&)<?, cV = P^yi = 2Jy(S)dS, (6.9)
о о
где Cp — коэффициент подъемной силы. Функция q (Ж), очевидно, связана с толщиной каверны б (ж) формулами
q (ж) = б' (х), б (ж) = j* q (I) d|. (6.10)
о
Поставленная граничная задача (6.1), (6.5) для плоскости с разрезом (у = 0, O=S ж =SZ) применением преобразования Фурье по переменной ж может быть сведена к системе сингулярных интегральных уравнений относительно введенных функций у(х) и q(ж) [17]:
Jr=Id! + J Я (*) = — П*) (°
о
I
+ = (<><*<*)¦
(6.И)
Уравнения (6.11) необходимо решить при условии конечности энергии е-объема жидкости
f (<?2 + Y2) dQ < оо (6.12)
Qe
в окрестности ТОЧКИ ж = 0 или при вытекающих из (6.12) условиях
Ужд(ж)-»-0, Уж'у(ж)-»-0 (ж-»-0). (6.13)
Кроме того, нужно потребовать ограниченности функции 'у(ж) в точке ж = 1, что фактически приводит к условию
J (ж) = 0 (ж = 1 — 0). (6.14)
Последнее -является естественным условием Жуковского непрерывности давления в окрестности ж = 1 при переходе от профиля к каверне. Для определения длины каверны I используем условие Рябушинского замкнутости системы профиль — каверна
I
S(Z) = O, .f?(&)dS-0. (6.15)
о
§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ B ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 305
При условии (6.15), как будет показано ниже1),
1~<Г2, q(x) ~ (I — х)~1/2 (X-*-1), (6.16)
Для установления характера решения задачи в окрестности точки х = 0 можно рассмотреть однородную систему (6.11), считая к тому же, что переменные I и X изменяются на (0, оо). Складывая при этом уравнения (6.11), получим
OO
4 + cP (ж> = 0 (0<ж<°°> Ф(я) = Q(x) + У(х)). (6.17)
О
Решение уравнения (6.17) будем искать в виде
Ф (x) = Dxa~l (D = const, 0<а<1). (6.18)
Подставляя (6.18) в (6.17) и вычисляя согласно (5.6) гл. 4 ин-
теграл, будем иметь
ctgKa+1 = 0. (6.19)
Отсюда находим, что a = V4 и, следовательно,
q(x)~x~l/l, у(х)~ аг1/4 (хО), (6.20)
причем оценки (6.20) не противоречат условиям (6.13) .
Итак, должно быть найдено решение системы уравнений (0.11) при условиях (6.13) — (6.15), а структура решения в окрестности точек х = 1 и х = 0 определяется соотношениями
(6.16) и (6.20). Следуя результатам монографии [17], получим замкнутое решение задачи. Именно, перепишем второе уравнение системы (6.11) в виде
і
<? = я [ст—y(x)] (0<x<Z) . (6.21)
О
и обратим стоящий слева интегральный оператор по формулам типа (3.22), (3.23) гл. 2, удовлетворив тем самым первому условию (6.13). Будем иметь
