Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
«*)------+ (6.22)
О
1
я-I JViTjTfi^- <6-23>
о
Здесь учтено, что "у (х)= 0 при х>1, и использовано усло-
вие (6.15).
’) Из второй формулы (6.16) следует, что при условии Рябушинского в линейной теории суперкавитации не выполняется соотношение (6.12) в окрестности точки х = 1, О других условиях замыкания каверны см. [19].
306 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Подставляя далее выражение (6.22) в первое уравнение системы (6.11), получим следующее интегральное уравнение относительно "у (ж);
(6.24)
(Os= .rs? 1).
Произведем в уравнении (6.24) замену переменных и введем обозначения по формулам
T=I/*, ‘"Vnh. -=V'
1-і’
(6.25)
y*(t) = y(t)(l + t2) , у (t) = Y (ж), g(t) = f(x).
Придем к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши
О
Решение уравнения (6.26) найдем по формуле типа (3.23) гл. 2Т удовлетворив тем самым условию (6.14), а также, как нетрудно убедиться, второму условию (6.13) г
?(*)¦
'0Т
2 Yl
dx
(I + T2) (t — т)
После некоторых преобразований (6.27) выражение для перепада давлений вдоль профиля принимает вид
(т) X dx
+
i+,»
I iYtja I f)J ~[/ ^ g{x)dr .______<t /~2~ ,_У2(в+1),
т z + т2 4-уг
+ 1
(6.28)
Используя формулу (6.22), можно также получить в переменных
(6.25) для функции q(t)= q(x) следующее выражение:
§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
307
Пусть профиль представляет из себя плоскую пластину f'(x)=—а. Тогда в согласии с равенствами (6.23), (6.28), (6.29) получим
у (f) Л Г и — t Vy'2 (а + І)_t_ I / 2 1
a 2 Г о / P о + I J
+ WT + (0<«а), (6.30)
^ - 4 [15Ih-ф M+T/5тТ ('>] +
+ 7? [ Vf7ТТ ф (Q - ' vTr у (»]. (8-М)
;yl
ста-1 = 2(1 — 1)_1/2,
Ф(г) = Т(ї) = >/ (0<і<а),
(<>«),
(6.32)
(6.33)
Y(*) = jA*±± + jAL_± {г>а),,
откуда выражение для коэффициента подъемной силы (6.9) будет иметь вид
Cp = па ЦІ - 1 (УГ+ VZ- I)]-1. (6.34)'
Нетрудно убедиться, что полученные результаты обладают свойствами (6.14), (6.16) и (6.20).
Заметим, что для нулевого числа кавитации (а = 0, I = °о, а = 1) формулы (6.30), (6.31) й (6.34) принимают вид
Y(X)CT1 = 2 (0<*<1), Cp = ^t
q(x)a 1 =
(6.35)
"j/i
(0<®<1),
Определим еще плечо H приложения силы P (см. рис. 5.5) по формуле
J.
РЯ = PF2Jy (I) I dl.
(6.36)
20*
308 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
После несложных вычислений получим
Я = 28(105я)-‘ «0,776.
Определим также силу сопротивления движению профиля
T = Pa, Ct = Cv а = ^!- (6.37)
Для сравнения приведем (см. (5.13) и (5.14)) значения Cp, Ct и Н, получающиеся при обтекании профиля
f(x) = -a
без образования каверны:
Cp = 2яа, Ct = 2яа2, H = 0,25.
Видно, что при суперкавитационном обтекании подъемная сила уменьшается в четыре раза, но зато во столько же раз уменьшается сила сопротивления движению.
§ 7. Нестационарная задача об истечении сжимаемой жидкости (газа) из емкости
Рассмотрим, наконец, задачу, которая по классификации, данной в § 1, относится к «общему нестационарному режиму». Пусть в емкости (сосуде) достаточно большого объема (полуплоскость у < 0) в состоянии покоя при давлении находится идеальная сжимаемая (баротропная) жидкость. В момент t = Q
происходит разгерметизация сосуда, в его границе у = Q появляется отверстие ширины 2а (рис. 5.13) и жидкость устремляется наружу, где р < P-If.. Будем считать, что давление в сечении у = Q струи истекающей жидкости зависит только от времени t и изменяется с течением времени, как показано на рис. 5.14. Начальный участок кривой давления p(t) (на рис. 5.14
§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА
309
заштрихован) может быть хорошо аппроксимирован выражением
p(t) = p(l — yeKt), р = 1-у)1 (0< y< 1, и>0), (7.1)
где у и я — постоянные аппроксимации, которые могут быть подобраны по экспериментальным данным.
Исследуем задачу на промежутке времени 0 =? t T таком, когда изменение давления в сосуде р0 = —P4(eKt — 1) еще достаточно мало, и можно считать справедливыми уравнения
(2.20) — (2.22) гл. 1. Заметим, что при этом безразмерное время T' = %Т может отнюдь не быть малой величиной. Поставим целью определить функцию v(x, t) распределения скоростей частиц жидкости в направлении оси у в сечении у = 0, IaH=Sa и характеристику расхода
в соответствии с формулой (2.20) гл. 1.
При сделанных предположениях задача формулируется в виде дифференциального уравнения (2.22) гл. 1 при F = O:
Po 0, t) = — р*ф0|у=0 = — РУ (еУЛ — l)H(t) (I х К а), (7.4) p0(x,y,t)~* 0 (х2 + у2-+оо).
Здесь использованы формулы (2.17) и (2.21) гл. I, H(t) —функция Хевисайда (H(t)=0 (f<0),#(i)=l (t^0)).
Для сведения краевой задачи (7.3), (7.4) к интегральному уравнению исследуем вначале несмешанную задачу при следующих граничных условиях:
Применим к уравнению (7.3) и условиям (7.5) преобразование
а
(7.2)
где
Р* = Ф(Р*)
Афо = C-2 фо
(7.3)
и граничных условии
Vy (X,о, 0 = ?° =0 (|®|>«),
иУ у=о
