Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.5. Если / (ж) є Я“+1 (—I, 1) (0<а<1) и /(*)є=я5+1 (Г) (V2CJJsSl, Г — система отрезков [—1, —1 + + eIi [1 — є, 1], є > 0), а также выполнены соотношения (3.25), то функция ф(ж), определяемая формулой (3.26), имеет следующую структуру: ______
ф(ж) = У1 — Z2CD3(Z), (3.27)
ще (O2(.г) є Cn(— I, I).
Теорема 2.6. Если /(х) <= Я“(— I, 1) (0<ос<!1) и / (х) <= Н\ (Г) (V2 < р 1, Г — система отрезков [—1, —1 + є], [1 — є, 1], є>0), а также выполнены соотношения (3.25), то функция ф (х), определяемая формулой (3.26), имеет структуру (3.27), где иа(г)єй](-1, 1), причем 7 = inf (ос, V2).
Указанные теоремы доказываются аналогично теоремам 2.1 и 2.2. ,
Заметим, что в случае, когда / (х) <= H1 (— I, 1) <7,<р<1), как показывают теоремы 2.5, 2.6, требование ограниченности ре-
§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
69
шения ф(ж) интегрального уравнения (1.2) в точках ж = ±1, по сути дела, оказалось требованием обращения его в этих точках в нуль. Ограниченные же решения (не нулевые) интегрального уравнения в точках ж = ±1 существуют. Например, если
f (х) = ці + м-2 [2 — (1 — ж)1п(1 — х) — (1 +ж)1п(1 + ж)], (3.28)'
то функция ф(х), как нетрудно убедиться, равна ц2. Однако функция f(x) в форме (3.28) такова, что ее первая производная имеет логарифмическую особенность в точках ж = ±1, следовательно, f(x) в форме (3.28) уже не принадлежит классу Я?(- 1,1) (V2 ^ 1). Хаким образом, при — V2 теоремы
2.5, 2.6 несправедливы.
Рассмотрим еще вопрос о взаимосвязи «четных» и «нечетных» решений. Заметим, что в зависимости от того, является ли функция f(x) четной (/+(ж)) или нечетной (f-(x)), решение ф(ж)’ интегрального уравнения (1.2) или (1.34) соответственно четно (ф+(ж)) или нечетно (ф_(ж)). В этом нетрудно убедиться, если представить ядра уравнений (1.2) и (1.34) в виде
In 11 — х I = In I I2 — х21 + -у In
1 ? , х
~9, 5. > Гз 9, *
1-х
+ Xf
(3.29)
I — х
Зная какое-либо «четное» решение интегрального уравнения
(1.34), можно легко построить некоторое соответствующее «нечетное» решение по следующему правилу: если
f+(x)=xf-(x), (3.30)
то имеют место формулы
ф± (ж) Vl - X2 = С»± (х), С0+(ж)_С0+ (0)= ZCD- (х),
! (3.31)
N0 — ясо+ (0) = Ni, Ni = § ф_ (? I d\.
—1
Эти факты следуют из того, что на основании второй формулы
(3.29) уравнение (1.34) для «четного» и «нечетного» вариантов может быть соответственно представлено в виде 1
і = ~Т < 1K
О
f -j^f-(X) (ж<і).
о
В § 7 этой главы будет указана другая связь между «четными» и «нечетными» решениями интегрального уравнения (1.2),
(3.32)
70
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 4. Интегральные уравнения Абеля. Решение интегрального уравнения (1.2) в форме, не содержащей сингулярных интегралов
Заметим, что в настоящее время известны две формы решения сингулярного интегрального уравнения (1.34). Первая, приведенная в § 2 настоящей главы и содержащая сингулярные интегралы, известна давно и стала уже классической. Вторая форма решения уравнения (1.34), не содержащая сингулярных интегралов, впервые получена Н. А. Ростовцевым в [5]. В работе [6] дано решение более общего интегрального уравнения, ядро которого связано с некоторой гипергеометрической функцией. Эта работа, по сути дела, обобщает идею Н. А. Ростовцева, поэтому здесь кратко остановимся на ее основных результатах.
Пусть дано интегральное уравнение первого рода і
J ф (!) к (|, ж) dg = я/ (ж) (0<z<l), (4.1)
О
(4.2)
причем ядро его к(|, х) представимо в форме
к (Ix) =_____-____F (-2- р + *• - q • \
К*'х> (g« + Х*)Р г\2' 2 ’ 2 ’ (|* + **)¦;•
где F (а, Yl х) — гипергеометрическая функция, а параметры р и q удовлетворяют неравенству 0 < 2р < q < 2р + 2.
При частных значениях параметров р, q из (4.2) получаются известные ядра Гильберта — Рисса, Карлемана и Герца
1
к (I, х) = І±і- (р = і, q = 3), (4.3)
к (і, х) = U2х% Tp (0 </> < I, q = р + 1), (4.4)
= (р—(4.5)
/5Г(ж) — полный эллиптический интеграл первого рода. Уравнение (4.1) с ядром (4.4) встречается в контактной задаче нелинейной теории ползучести [7], а интегральное уравнение (4.1),
(4.5) возникает, например, при изучении осесимметричной задачи о вдавливании кругового в плане штампа в упругое полупространство [4]. .........
Ключом для решения уравнения (4.1), (4.2) является представление гипергеометрической функции в виде интеграла [8]
1__р(_Е_ р + *. ч . 4^*2
{ 2 ’ 2 ’ 2 ’ (?* + *?.
mtn(x,?)
2Г (д/2) і Г _________________t2p-1 dt
(0<2 p<q).
Г (р) Г (д/2 - р) (%х)ч-2 J [(»* _ 12) (|* - ^)]х+р-д/а V ^
§ і. ДРУГАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
71
Теорема 2.7. Решение уравнения (4.1), (4.2) при
/ (х) є Н\ (— I, 1) дается формулами
і
m / Ч_______3g~2 Й Г tS (0 dt (0<ґг<Ґ"П
Г(1 + р — ?/2) dx J ( < < )* ^
зс
t
2Г (р) sin лір-д/2) fl-,P d_ С / (I) g«-*dS
((2_ |ї)д/а-р
./і\ "2I VP) sln jMP — 9/Д-2Р о I
гЩ л J
Для доказательства рассмотрим вначале интегральное уравнение Вольтерра первого рода типа Абеля:
