Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
62
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
функции F (z) = Yza — 1, чтобы (х) = Ya:2 — I, a F_-{x\=>
= -Ix2 - 1. _______
Умножив теперь обе части уравнения (2.29) на Уж2 — 1 и воспользовавшись соотношением (2.31), получим для определения 1F (z) следующее функциональное уравнение:
W+ {х) - W-(х) = —if {х) 1хг - 1. (2.32)
Принимая теперь во внимание вторую формулу (2.27), запишем одно из решений (2.32) в виде
і ________
(т)
? I
Zn ,
—1
Таким образом, частное решение уравнения (2.29) получим в форме
Ф(1) (Z) = - -*=- I dv. (2.33)
2л Vl — 2 Z1
Найдем решение однородного уравнения (2.32)
?(?) (х) - ?(_о) (х) = 0. (2.34)
Соотношение (2.34) показывает, что функция 1Irtoj (z), регулярная на всей плоскости комплексного переменного z, принимает одинаковые значения на верхнем и нижнем берегах разреза. Кроме того, как следует из (2.31) и асимптотики Ф(г) при |z| ->-00, 4^(2) стремится K ПОСТОЯННОЙ при Izl ->- оо. А тогда по теореме Лиувил-пя [1—3] 1Ft0t(Z) = Const, откуда
Фй)(2) = -А=- (2.35)
2л V I — z
(сравните с (2.17)). Замечая теперь, что Ф (z) = Ф(1) (z) + Ф(0) (z), и находя предельные значения
ф+и------------------------'w Jtl
2л Vi — х2 2л Vi - X2 J1 х х
Ф_и-------------1— Г
2л/і-х2 + 2nVi-x2 J1
из второй формулы (2.27) будем иметь
Ф(ж) =
л Vi —
2
X
' г VWrw '
0 J X-X —1
(2.36)
§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2) 63
Формула (2.36) представляет собой общее решение интегрального уравнения (1.34). Это решение определено с точностью до произвольной постоянной N0- Как и выше, этой постоянной распорядимся так, чтобы выражение (2.36) удовлетворяло и интегральному уравнению (1.2). Для этого умножим скалярно обе части
(1.2) на фо(ж) вида (2.17), где N0 дается формулой (2.20). Переставив затем интегралы в левой части полученного соотношения (перестановка возможна, ибо функция ф(ж) абсолютно суммируема) И ВСПОМНИВ, ЧТО фо(ж) есть решение уравнения (1.2) для / = 1, без труда получим для общего случая f(x) выражение
і і
N0= § ф (X) dx = J у= dx- (2-37)
-і -і У і х
Здесь использовано значение интеграла (2.11) при g(r)= const. Формулы (2.36), (2.37) дают общее решение уравнения (1.2).
Найдем еще выражение для следующей иптегральной характеристики-решения ф(ж):
і
N1 = J жф (х) dx. (2.38)
-і
Подставляя (2.36), (2.37) в (2.38) и интегрируя, получим
і
N1= J /' (х) У і — X2 dx. (2.39)
-і
Отметим, что при вычислении Ni (2.39) был использован сингулярный интеграл (2.21).
Можно показать, что решение уравнения (1.34) в форме (2.36) имеет место, даже если /'(ж)—обобщенная функция, например, дельта-функция Дирака
OO
S (х) = J cos ах da. (2.40)
о
Основное свойство дельта-функции определяется соотношением Л I О (ж<а, Х>Ъ),
J g(l)b(l-x)dt= J i/a[g(a._0) +?(ж + 0)] (в<*<6),
(2.41)
где g( х)— произвольная функция класса У(а, Ь).
64
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 3. Структура и свойства решения интегрального уравнения (1.2).
Ограниченные решения. Взаимосвязь между «четными» и «нечетными» решениями
Чтобы исследовать структуру и дифференциальные свойства решения (2.36) интегрального уравнения (1.2) в зависимости от дифференциальных свойств функции f(x), воспользуемся следующей леммой.
Лемма 2.3. Пусть / (х) є (а, Ь) (0<;а<^ 1), т. е.
\fn){x) — Pn){l)\ <M\x-l\° (M = Const); (3.1)
тогда имеет место неравенство
1(х)-1(Ъ)-{^-Г H)- •••-{-^f-fn)©|<^-|*-?Г+я
(3.2)
для любых х и ? є [а, Ь\
Доказательство леммы имеется в [4].
Теорема 2.1. Если / (х) є HZ+x (— I, I) (CXas^lj, то
функция ф(ж)', определяемая формулой (2.36)’, имеет структуру
ф(z) = CD(ж) (1-ж2)-1/2, (3.3)
где (0 (ж)є Сп(—1, 1).
Для доказательства достаточно показать, что сингулярный интеграл
I(X)=I /,(g)ferg2 ^ (3-4)
-і
входящий в (2.36) как функция х, принадлежит классу Сп(—1,1)’. Представим интеграл (3.4), используя формулу (2.21), в виде
Ч*)=\ -~~г ^(*)• (З-5)
-і
Равенство (3.5)’ теперь формально продифференцируем п раз по х. При этом получим
т(п)
L
(х) = re! J
Г (I) - Г (х) - 1" (X)-...- п1х)~ /<п+1> (X)
-I (t-x)n+1 1 Х
X Yl — I2 dl — л [xf (ж)](п). (3.6)
По условию теоремы второе слагаемое в (3.6) принадлежит С(—1,1).. Покажем, что интеграл в (3.6) также принадлежит
§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
65
С(—1,1); тем самым будет обоснована законность дифференцирования под знаком интеграла в (3.5). Непрерывность по х интеграла в (3.6) следует из его равномерной сходимости при всех ж є [—1,1]. Для доказательства равномерной сходимости, как известно, необходимо показать, что модуль соответствующего интеграла по [ж —Єї, а: + є2] стремится к нулю при всех Ы«5 1, когда E10 и е20. Это легко установить на основании оценки (3.2) .
Заметим, что при а = 0 доказанная теорема в общем случае несправедлива. ДействительЬо, рассмотрим конкретный пример. Пусть
/(ж) = Ji1 + Ji2Ia:!; (3.7)
тогда функция /' (х) = ^2 Sgn х не удовлетворяет условию Гельдера. С учетом сингулярного интеграла
