Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
OO t
J W (a) J0 (at) da = 2 J Ш== (t < 1),
о о ' * х
OO
J Ч*1 (a) J0 (at) da = О (t > 1).
о
Введем в рассмотрение функцию TF*(a)='a“1TF(aj и функцию ¦ф*(t), связанную с W*(a) интегральным преобразованием Хан-келя:
OO 1
ф* (t) = j (a) Oj0 (at) da, (a) =Ji])* (t) tJ0 (at) dt.
§ 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
79
Действуя дальше по вышеизложенной схеме, после ряда выкладок по формуле (5.9) найдем решение интегрального уравнения (5.1) для случая нечетной функции f(x) в форме
1 і
Ф
(х) = --[ tdt - f (5.30)
Jl dx J Yt1 — х2 ^ Vt2 — I2
Относительно структуры и дифференциальных свойств решений (5.29), (5.30) интегрального уравнения (1.2) может быть доказана [10]
Теорема 2.8. Если f(x)^H\(—I, 1), то ф(ж) имеет структуру (3.3), где »(ї)єЯ01/2(-1, 1).
§ 6. Спектральное соотношение
для интегрального оператора уравнения (1.2).
Решение интегрального уравнения (1.2) в форме ряда по полиномам Чебышева
Как известно [И], полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода даются формулами
Tn (х) = cos (п arccos х), Tn (cos 0) = cos пв,
тг . ч sin (п arccos х) тт , m sin габ (6-1)
Un-i(x)=—r-^---------еЧ CTn-! (cos 9) = . n , v '
" 1' ' sm (arccos x) ’ 1 v ' sin 0 ’
а взаимосвязь между полиномами Чебышева имеет вид
Т'п(х)=гй]п_х(х). (6.2)
Однако между ними существует и не вытекающая из (6.2) интегральная взаимосвязь, которая дается соотношением [И]
Г f nUn^1(x) (n^sl),
JiIiZtTi=T=Io <.-0) <|*ко- (M)
В справедливости (6.3) можно убедиться простой проверкой с помощью формулы (2.16).
Отметим также, что полиномы Тп(х) взаимно ортогональны. Именно, имеет место равенство
і ( 0 (тпфп),
I QiX I
J Tn (х) Tm (х) = Я/2 (тп = пф0), (6.4)
-1 1я (т = п = 0).
Полиномы второго рода Un(x) также взаимно ортогональны:
Г п г----- [0 (т Ф n)t
J Vi-^Ua{l)Umix)dx-{Kl2 (6.5)
80
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Оба соотношения ортогональности легко вытекают из известной ортогональности тригонометрических функций.
Проинтегрируем соотношение (6.3) по х. С учетом (6.2) будем иметь
Определим постоянные Cn, входящие в (6.6). Рассмотрим сначала случай п = 0. В этом случае правая часть равенства (6.6) не зависит от х, следовательно, левая часть тоже не должна зависеть от х, и можно положить X = 0. При этом будем иметь (с учетом того, что Т0(х)= 1)
Для определения постоянных Cn при \ умножим обе части равенства (6.6) на (1—хг)~1/гйх и проинтегрируем по х от —1 до 1. Будем иметь
Изменив в левой части (6.9) порядок интегрирования и приняв затем во внимание, что внутренний интеграл в силу (6.8) равен я In 2, получим
Однако на основании (6.4) интеграл в левой части (6.10) равен нулю, поэтому Cn = O при п >1. Таким образом, выражение (6.6) окончательно принимает следующий вид:
і
(6.7)
Сравнивая равенство (6.7) с формулой (2.19), находим
C0 = я In 2.
(6.8)
і
і
і
і
(6.10)
§ 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
81
Формула (6.11)' является спектральным соотношением для интегрального оператора
і
А<р = I5<612>
Она показывает, что полиномы Чебышева являются собственными функциями этого интегрального оператора, а п~1 при п 3* 1 и In 2 при Ti = О — его собственными числами.
Известно [12], что система полиномов Чебышева является замкнутой в классе функций Li2 (— I, 1). Замкнутость системы^ как было указано в § 4 гл. 1, означает, что для любой функции ю (х) є Ll2 (— I, 1) возможно единственное представление
ос
® (х) = Д ®пТ п (X) (I ю ||lv2 = I ю |Ц. (6.13)
Перейдем к построению решения интегрального уравнения
(1.2) и будем искать его в виде (3.3). Относительно функции а(х) предположим, что она принадлежит классу Ljt (—1,1), и, следовательно, ее можно представить в форме ряда (6.13). Пусть в (1.2) правая часть f(x) такова, что f (і)єі/!(—I, 1). Тогда тем более для f(x) возможно представление
о° і
/ (*) = 2 UTn (х), /„ = ^ dx, [(6.14)
P, = l, Pn = 2 (п> 1).
Подставляя (3.3), (6.13) и (6.14) в уравнение (1.2) и используя спектральное соотношение (6.11), найдем
Юи = /п«п («о-1 = In 2 + d, ап = Tl > l), (6.15)
где, как видно, яю0 = N0 (см. формулу (2.37)).
Теорема 2.9 [13]. Если f(i)e^’(—IjI)) то существует единственное решение интегрального уравнения (1.2) такое, что ф(ж) имеет вид (3.3), а ш(і)єІ/2/а(—I, 1). Кроме того, имеет место следующее соотношение корректности:
Il ю M IlJyj < “о ( J у==2) + mI Il Г (X) ?./. (M1 = const),. (6.16) которое также можно представить в виде
11фИЦ,-о<^(.[ у==) +^2 Il/' (Z)II^o (M2 = COnst).
(6.17)
6 в. М. Александров, Е. В. Коваленко
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Для доказательства теоремы продифференцируем вначале обе части равенства (6.14) по х. С учетом соотношения (6.15) и формул
T 2п {%) — 4и 2 T2}—1 (X)l
1=1
(6.18)
долучим
OO
T'2n+l (X) = (2п + I) I T0 (х) + 2 S T2j (х)
I J=і
OO
Ґ (х) = 2 7Г Т'п № = Т° ®2?1+1 +
п=0 п 71=0
OO OO OO I OO I
+ 2^ T2j—i(x) 2 ®2п + 2 2 T2j (х) 2 ®2n+i- (6.19)
