Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
F(u)= о(\и\»~г). (8.17)
G помощью формул (7.16) и (8.15) преобразуем левую часть выражения (8.14) следующим образом:
1 оо 'оо
я J/(I) ф(|)d| = -|- j Ё(и)Ф(и)йи={ J ^^VT&mu)du,
— 1 —00 — 00 V ' '
(8,18)
Далее, из (8.18) с помощью неравенства Гельдера следует
(8.14), причем постоянная Ms имеет вид
(°° _ W
т J lHt*) '• №>•«)
— 00 /
На основании (8.17) и известного поведения функции К (и) при
|и| -V оо убедимся, что интеграл в (8.19) сходится.
В силу справедливости неравенства (8.14) и на основании теоремн 1.1 можем утверждать, что правую часть функционального уравнения (8.13) можно единственным образом представить
в виде
і
я J /(I) ф (I) d| = (ф, Фо)н (Фо Є Н). (8.20)
-і
Подставляя (8.20) в (8.13), убедимся, что существует единственный элемент ф„ €= н, обращающий (8.13) в тождество и являющийся, таким образом, обобщенным решением интегрального уравнения (7.1), (7.11), (7.12).
Можно показать, используя формулы (8.15), (3.14), что для постоянной Mi вида (8.19) имеет место оценка
M3 < M31 /||« (а= 1-й), (8.21)
Н0
§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ
49
где Я“ (— 1,1)— пространство функций, удовлетворяющих при Ы =? 1 условию Гельдера с показателем а. Подставляя далее
(8.14), (8.21) в функциональное уравнение (8.13) и полагая затем ф = фо, получим следующее соотпошение корректности:
Il Фо Ik< ^8II /IU (8-22)
-tlO
В заключение заметим, что если существует обычное решение интегрального уравнения (7.1), (7.11), (7.12), т. е. ф0(ж) е єі,(-1, 1), то оно, очевидно (см. (8.12)), одновременно является и обобщенным решением. В гл. 2 будут сформулированы условия, которые необходимо наложить на функцию f (x) (более сильные, чем (8.16)), чтобы решение принадлежало пространству Lv (—I, 1) (1</><2).
4 В, М. Александров, Е. В. Коваленко
ГЛАВА 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ОСНОВНОГО ТИПА
§ 1. Свойства ядра интегрального уравнения
(7.1), (7.11) гл. 1 для случая очень больших X. Интегральное уравнение первого рода с логарифмическим разностным ядром
Обратим внимание, что в случае очень больших 1K ядро (7.7) гл. 1 интегрального уравнения (7.1) гл. 1 может быть приближенно представлено в виде
- ln|th-^~x) I = — ІпЦ — з) + d, d = In^l (1.1)
поскольку при х -*¦ 0. Таким образом, интегральное
уравнение (7.1), (7.7) гл. 1 при очень больших 1K запишется в форме
і —
j ф(=) [—Ь|? — х\ + d] d| = nf (х) (I х Kl). (1.2) —і
Случай К — оо пе может быть рассмотрен1), ибо второе слагаемое в правой части (1.1) обращается в бесконечность. Следовательно, в задаче § 5 гл. 1 при х2 = 0, а также в задачах § 6 гл. 1 (для первой задачи при и = 0) невозможен предельный переход к полупространству (или пространству). Заметим, что это общий дефект плоских задач. Известно [1], например, что в плоских задачах теории упругости, если область V, занимаемая телом, включает в себя бесконечно удаленную точку, то при (х, у) -> °° перемещения логарифмически стремятся к бесконечности. Это
') Вернее (см. § 2), в случае % = оо при заданном значении величины
і
N0 = J Ф (I) ell -і
может быть найдена функция ф (х), но не может быть установлена связь между N0 и /(0).
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ
51
противоречие физическому смыслу является следствием идеализации пространственных задач — изучения их как плоских.
Покажем теперь, что во всех случаях а), Ь) и с), указанных в § 7 гл. 1, при очень больших 1K ядро (7.11) гл. 1 может быть приближенно представлено в виде (1.1).
Допустим, что функция K(C1) в формуле (7.11) гл. 1 является четной, вещественной на вещественной оси и регулярной в полосе Iwl < оо, Iul < с, исключая точку ? = 0 для случаев Ь) и с). Совместим для случая а) контур Г в формуле (7.11) гл. 1 с вещественной осью; тогда
OO
k(t)= I" К (и) CQsut du. (1.3)
о
Для случая Ь) рассмотрим вспомогательный интеграл
кв(і)=±\-Ш=-е*1К, L{l) = \l\K(l), |е|«г. (1.4) г У ? + ъ
В (1.4) контур интегрирования можпо совместить с вещественной осью; тогда
00
ke(t)= f—-? ¦ cos ut du. (1.5)
1 К a2+ E2 Преобразуем (1.5) следующим образом:
оо оо
(t) = f -L ^..— (cos ut — е~и) du + ( /j gx
JK»4s2 J К»2 + 82
Оценим последний интеграл в (1.6) при є -*¦ 0. Принимая во внимание, что функция Ь(и) ограничена на вещественной оси, имеем
OO OO
Г < M1 Г -./SL=T du = J mI [Ho («) - nO (в)] =
J V и2 -L P2 ^ V и2 JL- P- *
+ в‘
YU2 -J- Є"
= O(Ine). (1.7)
Здесь Mi = const, H0 (х)— функция Струве, a N0 (х) — функция Неймана. С учетом (1.7) при є -*¦ О выражение (1.6) представим в виде
OO
ke(t)= J —jp- (cos ut —е~и) du + О (In є). (1.8)
о
4*
52
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
На основании (1.8) для случая Ь) получим
OO
k(t) = j К (и) (cos ut — е~и) du + d*f (1.9)
о
где d.(.— бесконечная постоянная. Заметим, что если в (1.4) в качестве контура Г взять прямую, параллельную вещественной оси (Iwl < оо, V = 8, |е| < ISl < с), то, спускаясь на вещественную ось и устремляя є к нулю, вновь придем к выражениям (1.8) и (1.9).
