Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
J Ч*1 (a) cos ах da = я/' (х) (0 ^ х ^ 1),;
те (5*8)
j Ч*1 (a) sin ах da = О (х > 1), о
I Cw/ Ч • J IcpW (0<я<1) xj4T(a)sma*da = | Q (ж>1). M
§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
75
Итак, мы должны найти решение двух парных интегральных уравнений (5.6) и (5.8).
Далее мы будем использовать следующие интегральные представления функций Бесселя:
С cos ах dx ~ С sin axdx п _
= т7° (“*)’ J = ~2Jo ^
OO
' X cos ах dx д
J
О
t
р X sin aз.
J YT=
(5.10)
ах dx
H1(CCt), J
Yx2-;
-------я-tJі (at).
Кроме того, нам также понадобятся разрывные интегралы Сонина
OO
J SinazZ1 (at) da =
о
OO
J cos axJ0 (at)da ¦¦
X I
~ Yt1-X* (*<0*
о
(x>t)i
I
CO
Ssi
sin ахJ0 (at) da=
YF=J* (Х<*Ъ
O (X>t),
о (х < ?),;
(х > t).
(5.11)
I
Для решения парных интегральных уравнений (5.6)’ и (5.8) применим метод преобразующих операторов. Суть его состоит в следующем. Пусть имеется некоторое парное интегральное уравнение относительно неизвестной функции Ф(а):
OO
IФ (а) К (a) fit (ах) da = а (х) (0 ^ х ^ 1),
(5.12)
|ф(a)L(a)v(ax)da = b(x) (1<ж<сю). в
Пусть также известно интегральное преобразование
вО OO
(t) = J ? (a) M (a) I (at) da, Ч (a) = J г|> (т) N (т) / (ат) dr. (5.13)
76
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Если мы найдем также интегральные операторы, что і і
J A (X11) К (а) [X (ах) dx = P (a) I (at), j А (х, t) а (х) dx = a* (t),
О о
(5.14)
OO OO
J В (х, t) L (а) V (ах) dx = P (a) I (at), J В (х, t) Ъ (х) dx = b* (t), t t
то, воздействуя ими соответственно на первое и второе соотношения парного интегрального уравнения (5.12), получим новое парное интегральное уравнение вида
00
j Ф (a) P (a) I (at) da = a* (t) (0 ^f ^l),
1 (5-15) J Ф (a) P (a) I (at) da = b* (t) (I < t < оо).
о
Теперь введем в рассмотрение функцию
Чг(а) = Ф(а)Р(а)М"‘(а); (5.16)
тогда в силу (5.15) и первой формулы (5.13) имеем
$(f) = a*(f) (0<fsSl)', i|) (f) = b* (f) (l<f<oo), (5.17)
а используя вторую формулу (5.13) и затем (5.16), найдем решение парного интегрального уравнения (5.12) в форме
{1 CO \
j*а* (х) N (т) J (ах) dx + J b* (т) N (т) J (ах) <2т|. (5.18)
о і J
Перейдем теперь к парному интегральному уравнению (5.6). Для построения его решения воздействуем на первое и второе соотношения (5.6) соответственно интегральными операторами
t OO
f rxdx , f -y x dx (5.19)
Совершив затем перестановку интегралов и воспользовавшись третьим и четвертым интегральными представлениями (5.10), придем к следующему парному интегральному уравнению:
J Ф (a) J1 (at) da = - \ | ff== (* < 1)
0 otx (5 20)
OO
j" Ф (a) J1 (at) da = О (t > 1)
§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
77
Введем в рассмотрение функцию Ф*(ос) = ос_1Ф(ос) и функцию Ф*(0, связанную с Ф*(ос) интегральным преобразованием Хан-келя [9]:
О* і
ф* (t) = j Ф* (ос) O1J1 (at) da, Ф* (a) = j ф* (t) H1 (at) dt. (5.21)
о о
Здесь верхний предел, равный единице, во второй формуле (5.21) следует из второго соотношения (5.20).
Из (5.20) с учетом первой формулы (5.21) найдем
Ф* (0 =
2 С я/ (х) dx ^ л\
t J у-?—
Г — X*
(5.22)
0 (t> 1).
Теперь по второй формуле (5.21) определим Ф(ос):
і
Ф (a) = a J ф* (t) U1 (at) dt.
о
Наконец, по формуле (5.7) найдем ф(ж) при 0<ж<1:
ОС Ї
(х) = J ос cos ах da J ф* (t) U1 (at) dt =
(5.23)
ф
і w
= J ср* (i) t dt j* a J1 (а?) cos ах da =
о о
Ї OO
= J ф* (t) t dt J J1 (at) sin ах da.
(5.24)
Используя первый разрывный интеграл Сонина (5.11), окончательно получим
Ф (х) =
I d
П dx
J1 q>* (t) dt
J V7^7-
Г — X-
а согласно (5.22) будем иметь
і
х
L X
1
I
dt
_________Г IfiDdl
t Vfi-x«J
(5.25)
(5.26)
Посмотрим теперь, имеет ли однородное парное интегральное уравнение (5.6) какое-либо решение. Возьмем Ф0(ос) в виде
Фо (ос) = ZVo(GC) (Pi = Const)'. (5.27)
78
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
С помощью второго и третьего интегралов Сонина легко убедиться, что (5.27) как раз и является решением однородного парного интегрального уравнения (5.6). При этом по формуле (5.7) при
О =S ж =? 1 найдем
Фо
PC P
(,х) = J J0 (a) cos ах da = —у- 1 ^. (5.28)
Здесь мы опять использовали второй интеграл (5.11).
Итак, общее решение интегрального уравнения (5.1) для случая четной функции f(x) на основании (5.26) и (5.28) может быть представлено в форме
Ф(ж)=------A=—- 4~ I* f ---/I-- f ipML.l (5.29)
я/1-*? 11 dx L it /*2-*2 J /«2-i2 J
причем P1 = N0. Действительно,
Nn
а, как мы уже знаем, величина N0 определяется через f(x) по формуле (2.37).
Рассмотрим теперь парное интегральное уравнение (5.8). Для построения его решения воздействуем на первое и второе соотношения (5.8) соответственно интегральными операторами
t сю
Г * * * dx Г ... dx
J VpZT?* J
Совершив затем перестановку интегралов и воспользовавшись первым и вторым интегральными представлениями (5.10), придем к следующему парному интегральному уравнению:
