Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
1(^-6% = *(*) (°<“<1) (4-8) а
и построим формулу его обращения. Заменим в (4.8) ж на ?, умножим обе части его на 2t(x*— tz)a~ldt и проинтегрируем полученное выражение по ( в пределах от а до х. Будем иметь
2ItdtI § {l) dl = 21tf (t) {X* ~ dt‘ (4,9)
а а а
Изменим в левой части соотношения (4.9) порядок интегрирования, используя формулу Дирихле. Принимая далее в расчет значение интеграла
і
Г dt________________________л
J ta(i — «)1_“ _ Sinna j
о 'W-*)
получим искомую формулу обращения
* W-(«в)
а
которая справедлива, например, если f (х) є Н\ ( — I, 1) [3].
Аналогично, имеют место следующие формулы обращения:
72
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Воспользуемся теперь формулой (4.6) и перепишем интегральное уравнение (4.1) с ядром (4.2) в форме
Jlf (Х)_2IbM- f T (E) -f *2P_1 dt 1
nJ W Г {р) Г (д/2 _ р) IJ ф W (х|)5-2 J [(х2 - t«) U2 - t*)ll + P-«/2
U&]
+ \ .. -г, . IaP-1M
(*0«~2 J [(** -> t*) (I2 - (2)]1+Р-5/2
л о
Изменяя в последнем выражении порядок интегрирования, находим, что
nxq~2f (х) =________2Г Г______________f2p Г 9Ф Ш dS___________________ /4 ^
J W Г (р) Г (д/2 _ р) J /в« _ ЛІ + P-J/I J (t« _ t«)i+p-e/«-
Применяя к (4.12) формулы обращения (4.8), (4.10), получим і (
+ap-i Г 1а~9ф(|)^| Г (р) Г (д/2 — р) sin я (д/2 — р) d Г I9-1/ (g) dg J (|2 _ f2)i+p-g/2 г (д/2) dt J (ta_|2)g/2-p-
Отсюда при помощи формул обращения (4.11) мы придем к соотношениям (4.8), (4.10).
Рассмотрим теперь в качестве примера решение уравнения
(4.1) с ядром (3.29). Изучим вначале нечетный вариант интегрального уравнения (1.2)
1
J Ф- (?)1п |g~^ I d\ = я/_ (х) (0<®<1). (4-13)
О
Решение его найдем согласно (4.8), (4.10), положив р = 1, д = 3,
і t
ф. (а) = -г** ¦= -4 f f~ ^ ^ • (4.14)
я йі J ]/^2 _ г2 й J
Взяв в (4.14) внутренний интеграл по частям, окончательно
запишем
<Р_ (Ж) = _ -L А Г - \ (4.15)
Л Й J у^2 _ г2 J Yt2 — g2
Для получения общего решения интегрального уравнения
(четный вариант (1.2))
і
J Ф+(І)[ -InU2-^2I +d)dt = nU(x) (0<*<1) (4.16)
§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
73
можно воспользоваться дифференциальной зависимостью (3.30),
(3.31) между четным и нечетным решениями уравнения (1.2). Заметим, что поскольку решение уравнения (4.16) при f+(x) = f имеет нетривиальное решение, дающееся формулой (2.17), то решение уравнения (4.16) представимо в виде
Ф+ (х) = Р/ - — J- Г -r t dt~= f (4.17)
1 „Vi-х* " dx J Vt-x*
причем в силу соотношения (2.37)
і
X0 = pO + 1 /+ й) Vl=F Г1#, (4.18)
о
Ометим, что решение (4.15) для нечетного варианта правой части интегрального уравнения (4.1) полностью совпадает с решением (5.30), полученным в § 5 другим методом; в то же время четные решения несколько отличаются друг от друга. Подбирая в (4.17) и (5.29) постоянные P0 и P1 соответствующим образом (согласно (2.37)), можно добиться полного совпадения четных решений (4.17) и (5.29).
§ 5. Сведение интегрального уравнения (1.2) к парному интегральному уравнению.
Метод преобразующих операторов в парных интегральных уравнениях
Решение интегрального уравнения (1.2), не содержащее сингулярных интегралов и аналогичное решению Н. А. Ростовцева, может быть получено также на пути сведения интегрального уравнения (1.2) к парному интегральному уравнению типа
(7.15) гл. 1.
С помощью первого интеграла (1.20) придадим (1.2) форму
I OO 1
P f* ^iot(S-DC)_Є— I a I (»
J Ф (? <*6 J------j^-j-----da + 2d J ф (? dl = 2я/(ж) (|х |< 1).
— 1 —00 —1
(5.1)
Введем теперь трансформанту Фурье функции ф(х): і і
Ф («) = |ф (l)eialdl, Ф(0) = j* ф (g) dg. (5.2)
-і -і
Обратное преобразование имеет вид
74
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
С учетом (5.2), (5.3) перепишем (5.1) следующим образом
OO
f ^gLgIlaIl- ?_ (°) 1 a 1 + 2г1ф (O) = 2я/ (х) (И<1),
и a I
(5.4
J ®(a)e~toda = 0 (М>1).
Система соотношений (5.4) является парным интегральным уравнением относительно трансформанты Ф(ос) и полностью эквивалентна интегральному уравнению (5.1) или (1.2).
Продифференцируем первое соотношение (5.4) один раз по х, а второе соотношение оставим без изменения. Будем иметь
OO
_ і f Sgn аф (a)e~iaxda = 2я/' (х) (I х | ^ 1),
(5.5)
\ф(а)е-іаЧа~0 (М>1).
— OO
Система соотношений (5.5), как нетрудно убедиться, является парным интегральным уравнением, эквивалентным сингулярному интегральному уравнению (1.34).
Далее рассмотрим два случая. Четный случай: f(x), <р(ж), а следовательно, и Ф(ос)—четные функции. При этом парное интегральное уравнение (5.5) и соотношение (5.8) примут вид
ое
\ Ф (a) sin ах da = — я/' (х) (0 ^ х ^ 1),
о (5.6)
OO
J <D(a)cos ах da = O (х> 1),
о
i- f Ф (a) cos ах da = j ф f <° ^ 4)’ (5.7)
Я ? I О (х> 1).
Нечетный случай: f(x), ф(ж) и Ф(ос) — нечетные функции. При этом с учетом обозначения tF(а)=—іФ(а) парное интегральное уравнение (5.5) и соотношение (5.3) запишутся в форме
: OO
