Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 19

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 105 >> Следующая


Если обе части интегрального уравнения (1.2) продифференцировать по х, то мы придем к известному в математической физике сингулярному интегральному уравнению 1-го рода с ядром Коши

і

J I= nf{x) (И<1). (1.34)

— 1

Как мы увидим дальше, общее решение уравнения (1.34) содержит одну произвольную постоянную. Поэтому, построив решение уравнения (1.34), можно затем так распорядиться этой постоянной, чтобы решение уравнения (1.34) удовлетворяло уравнению (1.2).

В заключение заметим, что свойства ядра интегрального Уравнения (7.1), (7.11) гл. 1 при очень больших 1K для случая d) будут рассмотрены в гл. 5.

§ 2. Некоторые сведения о сингулярных интегралах. Формулы Сохоцкого. Решение интегрального уравнения (1.2) в форме, содержащей сингулярные интегралы

Пусть в плоскости комплексного переменного z = X + iy задан некоторый гладкий1) замкнутый контур L (рис. 2.1). Область, лежащую внутри контура, будем обозначать через D+, а дополнительную к D+ + L область, содержащую бесконечно удаленную точку, соответственно через D~.

Интеграл по контуру L вида

/

dx

(2.1)

называется интегралом Коши, если стоящая под интегралом функция f(z) является регулярной в D+ или D-. При этом для J(z) имеют место известные формулы Коши [3]. Именно, если функция f(z) является регулярной в D+ и непрерывной в D+ + L, то

J(z) = f(z) (z є D+), /(Z) = O (ZE D-) ; (2.2)

если f(z) является регулярной в D~ и непрерывна в D~ + L, то 7(z) = /(oo) (z^D+), /(Z)= -/(Z) + /(оо) (гєв-). (2.3)'

¦) Под гладким контуром будем понимать «простую (т. е. без точек самопересечения) замкнутую или незамкнутую линию с непрерывно меняющейся касательной и не имеющую точек возврата (заострения)» [3].
§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2)

57

Формулы Коши (2.2), (2.3) восстанавливают значения регулярной функции в области по известным ее значениям на границе области.

Пусть теперь /(т) в (2.1) является лишь непрерывной функцией от т є L. Тогда интеграл (2.1) называется интегралом типа Коши, а функция /(т)—его плотностью. Поскольку при любом z<? L производная от интеграла J существует и ограничена, то интеграл типа Коши представляет собой регулярную функцию во всей плоскости z, за исключением точек, принадлежащих L, а в бесконечно удаленной точке он обращается в нуль1) как Izl-1. Прй Z = t е L интеграл (2.1) называется сингулярным интегралом с ядром Коши (т — t)~l. Такой интеграл, вообще говоря, расходится. Однако при некоторых условиях, налагаемых на функцию /(т), может быть найдено его главное значение по Коши [3]. Вспоминая, что главное значение можно найти, вычислив неопределенный интеграл и подставив затем пределы интегрирования, получим, например, ь

а

Заметим, что такое же выражение будет иметь сингулярный интеграл, вычисленный по любому другому контуру L, соединяющему в плоскости комплексного переменного Z точки а и Ъ. Действительно, в [3] показано, что

-і» (2-5)

L

¦если ветвь логарифмической функции In z выбрана в соответствии с условием 1п(—1 ) = кі. Если контур L замкнут, т. е. а = Ь, то получим из (2.5)

J Sr= пі Vє L)• (2-6)

L

Любопытно, что для этого же интеграла в соответствии с формулами Коши (2.2) и (2.3) будем иметь

г ^— I2iti (;є0+)- p.,,

J T-* [о (zefl-). V '

Рассмотрим теперь сингулярный интеграл типа (2.1) (z = t є el)' и преобразуем его с помощью интегралов (2.5) и (2.6)

•) Все сказанное справедливо и для разомкнутого контура L, а также когда функция /(т) имеет степенные интегрируемые особенности.
58

ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

следующим образом: в случае незамкнутого контура

j(t) = -L Гdx + lM.in

' ' 2т.) х—і 2m f — а

(2.8)

в случае замкнутого контура

-fW-Al * + 4 »»•

(2.9)

Допустим теперь, что функция /(і) на контуре L удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < a =? 1; тогда, как видно из

(2.8) и (2.9), соответствующие сингулярные интегралы J(t) сходятся в смысле главного значения по Коши. Это следует из оценки

\x-t\a~’ldx<oo (М = const). (2.10)

L L

Положим теперь j(x) = g(x) (1 — х2)~'и и рассмотрим сингулярный интеграл

1{х)= [ —

". Yl — X2 (х — х)

(2.11)

Покажем, что при g(x)= 1 интеграл (2.11) равен пулю. Действительно, произведем в (2.11) замену переменной

т = (I — S2)/(I + S2); тогда после несложных преобразований получим

OO

dx __2 I _________ds

J 1 — X — і

(2.12)

1

I

J V^l-X2 (х — х)

X — (I -f- х) S

l/l — Ж -(- S *l/l + і

Yi-х2 V1 —х — * і/1 + ¦

: ІП

0.

(2.13)(

Интеграл (2.13) является ключевым для вычисления целой серии сингулярных интегралов вида (2.11). Так, папример, используя тождество

X — X X — X

+ 1 + х™-\ + ... + XXn-2 + хт~\ (2.14)

с учетом (2.12), (2.13) и интеграла і

x2ndt я (2п — 1)!!

I

Ji 1Л_.

(2в)!!

(2.15)
S 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2)

59

найдем

і

Г = UPn (X) (т = 2п + 1),

J1 Kl-X2(X-X) 1 л,хРп (х) (т = 2п + 2),

П

P (г) - У r2n~2h

k=o

(2/с)!!

Кроме того, обратим внимание па то, что в силу формулы (2.13) решение однородного сингулярного интегрального уравнения
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed