Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если обе части интегрального уравнения (1.2) продифференцировать по х, то мы придем к известному в математической физике сингулярному интегральному уравнению 1-го рода с ядром Коши
і
J I= nf{x) (И<1). (1.34)
— 1
Как мы увидим дальше, общее решение уравнения (1.34) содержит одну произвольную постоянную. Поэтому, построив решение уравнения (1.34), можно затем так распорядиться этой постоянной, чтобы решение уравнения (1.34) удовлетворяло уравнению (1.2).
В заключение заметим, что свойства ядра интегрального Уравнения (7.1), (7.11) гл. 1 при очень больших 1K для случая d) будут рассмотрены в гл. 5.
§ 2. Некоторые сведения о сингулярных интегралах. Формулы Сохоцкого. Решение интегрального уравнения (1.2) в форме, содержащей сингулярные интегралы
Пусть в плоскости комплексного переменного z = X + iy задан некоторый гладкий1) замкнутый контур L (рис. 2.1). Область, лежащую внутри контура, будем обозначать через D+, а дополнительную к D+ + L область, содержащую бесконечно удаленную точку, соответственно через D~.
Интеграл по контуру L вида
/
dx
(2.1)
называется интегралом Коши, если стоящая под интегралом функция f(z) является регулярной в D+ или D-. При этом для J(z) имеют место известные формулы Коши [3]. Именно, если функция f(z) является регулярной в D+ и непрерывной в D+ + L, то
J(z) = f(z) (z є D+), /(Z) = O (ZE D-) ; (2.2)
если f(z) является регулярной в D~ и непрерывна в D~ + L, то 7(z) = /(oo) (z^D+), /(Z)= -/(Z) + /(оо) (гєв-). (2.3)'
¦) Под гладким контуром будем понимать «простую (т. е. без точек самопересечения) замкнутую или незамкнутую линию с непрерывно меняющейся касательной и не имеющую точек возврата (заострения)» [3].
§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2)
57
Формулы Коши (2.2), (2.3) восстанавливают значения регулярной функции в области по известным ее значениям на границе области.
Пусть теперь /(т) в (2.1) является лишь непрерывной функцией от т є L. Тогда интеграл (2.1) называется интегралом типа Коши, а функция /(т)—его плотностью. Поскольку при любом z<? L производная от интеграла J существует и ограничена, то интеграл типа Коши представляет собой регулярную функцию во всей плоскости z, за исключением точек, принадлежащих L, а в бесконечно удаленной точке он обращается в нуль1) как Izl-1. Прй Z = t е L интеграл (2.1) называется сингулярным интегралом с ядром Коши (т — t)~l. Такой интеграл, вообще говоря, расходится. Однако при некоторых условиях, налагаемых на функцию /(т), может быть найдено его главное значение по Коши [3]. Вспоминая, что главное значение можно найти, вычислив неопределенный интеграл и подставив затем пределы интегрирования, получим, например, ь
а
Заметим, что такое же выражение будет иметь сингулярный интеграл, вычисленный по любому другому контуру L, соединяющему в плоскости комплексного переменного Z точки а и Ъ. Действительно, в [3] показано, что
-і» (2-5)
L
¦если ветвь логарифмической функции In z выбрана в соответствии с условием 1п(—1 ) = кі. Если контур L замкнут, т. е. а = Ь, то получим из (2.5)
J Sr= пі Vє L)• (2-6)
L
Любопытно, что для этого же интеграла в соответствии с формулами Коши (2.2) и (2.3) будем иметь
г ^— I2iti (;є0+)- p.,,
J T-* [о (zefl-). V '
Рассмотрим теперь сингулярный интеграл типа (2.1) (z = t є el)' и преобразуем его с помощью интегралов (2.5) и (2.6)
•) Все сказанное справедливо и для разомкнутого контура L, а также когда функция /(т) имеет степенные интегрируемые особенности.
58
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
следующим образом: в случае незамкнутого контура
j(t) = -L Гdx + lM.in
' ' 2т.) х—і 2m f — а
(2.8)
в случае замкнутого контура
-fW-Al * + 4 »»•
(2.9)
Допустим теперь, что функция /(і) на контуре L удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < a =? 1; тогда, как видно из
(2.8) и (2.9), соответствующие сингулярные интегралы J(t) сходятся в смысле главного значения по Коши. Это следует из оценки
\x-t\a~’ldx<oo (М = const). (2.10)
L L
Положим теперь j(x) = g(x) (1 — х2)~'и и рассмотрим сингулярный интеграл
1{х)= [ —
". Yl — X2 (х — х)
(2.11)
Покажем, что при g(x)= 1 интеграл (2.11) равен пулю. Действительно, произведем в (2.11) замену переменной
т = (I — S2)/(I + S2); тогда после несложных преобразований получим
OO
dx __2 I _________ds
J 1 — X — і
(2.12)
1
I
J V^l-X2 (х — х)
X — (I -f- х) S
l/l — Ж -(- S *l/l + і
Yi-х2 V1 —х — * і/1 + ¦
: ІП
0.
(2.13)(
Интеграл (2.13) является ключевым для вычисления целой серии сингулярных интегралов вида (2.11). Так, папример, используя тождество
X — X X — X
+ 1 + х™-\ + ... + XXn-2 + хт~\ (2.14)
с учетом (2.12), (2.13) и интеграла і
x2ndt я (2п — 1)!!
I
Ji 1Л_.
(2в)!!
(2.15)
S 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2)
59
найдем
і
Г = UPn (X) (т = 2п + 1),
J1 Kl-X2(X-X) 1 л,хРп (х) (т = 2п + 2),
П
P (г) - У r2n~2h
k=o
(2/с)!!
Кроме того, обратим внимание па то, что в силу формулы (2.13) решение однородного сингулярного интегрального уравнения