Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф(ж)« 2 IhJyhix)- (7-15)
k=0
Отметим наконец, что достаточно, как доказал М. Г. Крейн [14], знать (точное или приближенное) решение ф0(г) интегрального уравнения (7.1) гл. 1 для правой части (7.9) при
6 = 0 (т. е. при /(я)— 1), чтобы иметь возможность построить его решение для произвольной правой части f{x) в квадратурах. Покажем это сначала для интегрального уравнения 2-го рода ь
ptyit) — ^ T {t, s)ty (s) ds = g {t) {a^lt^lb), (7.16)
86
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
симметричное ядро которого T(t, s) квадратично суммируемо в квадрате a s*Sib; g(t)^ Lz(a, b). Пусть также ц не является точкой спектра ядра. В этом случае уравнение (7.16)’ имеет единственное в Li (а, 6) решение, которое можно представить в форме
Іy{t)
О
S{t) + J R (t, s) g (s) ds
(7.17)
функция R(t, s') называется резольвентой ядра T (t, s)'. Допустим еще, что однозначно разрепшмо при данном р. и любом a ^ т ^ Ъ интегральное уравнение
X
№(t)—\ T (t, s) p(s)ds = g (t) (а<?< т); (7.18)
тогда его решение имеет вид
Rx (t, s) g (s) ds
L а
, Rx (t, s) = R(t, s). (7.19)
Из теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода известно, что
T
IiRx (t, s) — J T (t, г) Rx (г, s) dr = T (t, s) (a ^ t, s < т), (7,20)
причем Rx (t, s) — симметричная, квадратично суммируемая в области а < t, s ^ т функг^ия.
Теорема 2.10 [14]. Для резольвенты R(t, sJ имеет место представление
R (?, s) =
О
Rt (t, 5)-|яг (?, г)]Яг (г, S) dr («;< t), t
ъ
Rs (t, s) — j Rr (t, г)'Rr (г, s) dr (t < s).
(7.21)
Для доказательства продифференцируем равенство (7.20) по т:
dRx (t, s)
V-JT-
T
T (*, т) Rx (т, s) — T (t, г) д~х~ s) dr = 0. (7.22)
Полагая затем s = x в равенстве (7.20), умножая его на Дт(т, s)
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА
87
и вычитая полученный результат из (7.22), найдем Г dRr (t, s)
ц|—^---------Rx (t, т)RX (т, s)j —
C XdRr (г, s) ]
г) [ 9т “ Rx (г’ т>(т’ s) = °- (7-23)
а
Поскольку уравнение (7.18) по предположению имеет единственное решение, то из (7.23) следует
dRx (t, S)
дх
= Rx (t, т) Rx (T1 s). (7.24)
Проинтегрируем теперь соотношение (7.24) по т в пределах от t до Ъ, а затем в пределах от s до b. В результате придем к (7.21).
Формулу (7.21) можно записать более компактно, если ввести в рассмотрение разрывные функции
т/ /* л *) (а<*<5<6)>
+ (’S) (О (а < s < f < Ъ),
lRt(t,s) (a<S<i<6), (7-25)
( } (О («*<*<&).
Именно, будем иметь
ь
R (t, s) = V+ (t, s) + F_ (t, s) + j F+ (t, г) F_ (г, s) dr. (7.26)
а
При этом заметим, что функция V- (t, s) связана с вольтерров-ским оператором (7.19) при x = t, a V+ (t, s)—с вольтерровским оператором вида
ь
ty(t) = P (t) + j Rs(t, s)p(s)ds. (7.27)
і
Обозначим, далее, фредгольмовские операторы, стоящие в левой части (7.16) и в правой части (7.17), а также упомянутые выше вольтерровские операторы, следующим образом:
А = ц1-Т, А-* = ц-‘(1 + К),
(7.28)
B+ = I + V+, В_ = ц-‘(1 + У_);
здесь I — единичный оператор. Теперь соотношение (7.26) можно представить так:
R = У+ + У- + V+ X У_. (7.29)
88
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Наконец, подставляя (7.29) во вторую формулу (7.28), найдем А-‘ = ц-‘(1 + У+)(1 + У_). (7.30)'
Из (7.30) вытекает
Следствие 2.3 [14]. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (7.16) дается формулами
ь г t -і
ty(t)=p(t)+§ Rs(t, s) p(s)ds,: p(t)=~- g(t) + j Rt(t, s) g (s)ds L
L a -J
(7.31)
Справедливость (7.31) может быть показана непосредственно путем подстановки их в уравнение (7.16) и ряда преобразований с учетом (7.20) и (7.24).
Пусть теперь известно (точное или приближенное) решение p(t, т) интегрального уравнения (7.18) при g(t) = \. Тогда согласно (7.19) имеем
P (*, т) = Г
Г
J Rx (t, s) dsl
a -J
I + \Rx (t, s) ds . (7.32)
Продифференцируем равенство (7.32) по т и преобразуем результат с учетом формулы (7.24)’. Будем иметь
т
1 +Jflt (T1S)dsi (7.33)
-a J
или, в согласии с (7.32),
= Rx (t, т) р (т, т) (а<*<т<Ь). (7.34)
Введем, далее, в рассмотрение функцию
T
M (х) =¦ ^ p(t,x)dt. (7.35)
а
Тогда, привлекая (7.34)', имеем
M' (т) = P(X1X) J^l + J Rx (t, t)d*J, (7,36)
Наконец, принимая во внимание (7.32)’, найдем
М'(т)'=^2(т, т)>0. (7.37)'
Теорема 2.11 [14]. Пусть М'(х)?=0; тогда для любой функции g(t)<^C(a, Ъ) единственное решение г))(?)<= С(а, Ъ) уравне-
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА
89
ния (7.16) может быть получено по формуле
1HO= [ж(ї) ?(s)ds] P(t’b) —
L a
b p T
- J P V' T> IR Йо Ыр (S) T) g (s) ds
t L a
t
Для доказательства обозначим
dx. (7.38)
X
?(т)=wjt)4ilp^g^ds' (7,39)
a
После интегрирования по частям во втором слагаемом формулы (7.38) с учетом (7.39) будем иметь
ь
І) (f) = ? (t) р {tj t) + J ? (т) рх {t, т) d%. (7.40)
t
Далее, используя (7.34) и обозначая ^itfpit, t) через p{t), придем к первой формуле (7.31). Теперь в соответствии с (7.39) и (7.37) запишем
