Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
3=1 TV=J }=1 n=j j
С другой стороны, для функции f(x), принадлежащей классу Х»У*(— 1) 1)> имеет место разложение
оо •"
/'(*) = 2 ZnTn(X) (Ifn)^l2). (6.20)
71=0
Сравнивая (6.19) и (6.20), установим, что
®1 = Jo / 2/21 ®2П+1 = / 2п І2ПІ-21 ®2П = /2«—1 І2П+1-
Теперь можем записать
оо оо
2 ®2 = aIfo + (/о — V2/2)2 + 2 [(/2« — /гп+г)2 +
+ (/;„-! - /Ui)2] < «о/о + M1 27» • (6.21)
п=0
Здесь для оценки использовано неравенство Коши — Буняковско-го. Соотношение (6.21) можно также представить в виде
Il ® (я) Il2 < «о/о + M1 Il /' (х) 14
или в силу эквивалентности норм {см. (6.13)) в виде (6.16). При помощи неравенства Гельдера (3.16) гл. 1 нетрудно уста-вовить
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА
83
•<1-0, P<V 3-0, (6.22)
2(2-р)
/I \ 1/(4+0) / I \ 1/(4-0)
U’(x))3dx_. I Су, ^ibOdx J I С dx
Vi/і-*2 / лі / Vi^1-**)1"0/
Il Ф (*) K-O < Il ® И IIiV2, Il /' И Ili-A < Mi I Г (X) ||І4+0
(M3, M4 = const)
и тем самым убедиться в справедливости (6.17).
Следствие 2.2. Из (6.17) вытекает существование единственного решения ф(ж) интегрального уравнения (1.2) в классе ?4/3-0(-1, 1) при /'(ж)е=?4+0(—I, 1).
При использовании результата (6.17) следует еще иметь в виду, что если /'(і)єІ4+о(—1, 1), ТО /(х) <= #“ (—I, 1) (О < а < V4). В этом можно убедиться с помощью неравенства Гельдера (3.16) гл. 1
1/(^)-/(1)1 =
V 1/(4+0)
3/(4-0)
< Mb І ж - і |3/(4+0) [Mi = const; *,!«=[— I, I]).
§ 7. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения (7.1) гл. 1. Метод Крейна
В предыдущих параграфах были изложены различные подходы к точному решению интегрального уравнения (7.1) гл. 1 в случае очень больших X, когда ядро (7.11) гл. 1 этого уравнения можно было приближенно представить в форме (1.1). В общем случае (варианты а), Ь) и с) в § 7 гл. 1), как следует из представления (1.26) и леммы 2.1, ядро (7.11) гл. 1 можно записать в виде
fc(*)=-lnUI + F0(0 + do, (7.1)
где d0 —конечная или бесконечная постоянная, F0(O) = O и, кроме того, функция F„(t) удовлетворяет при любом 11\ =SR (R< 00) условию Липшица (условию Гельдера с показателем а = 1).
Для дальнейшего важно заметить, что если регулярная часть Ffs (t) ядра k(t) приближена каким-то образом выражением1)
N
я (0 = 2^(1)^(4)' (7-2)
*) Здесь использована возможность аппроксимации точного интегрального оператора конечномерным (см. § 3 гл. 1). Если в (1.26) C= 0, то в
(7.2) должно быть Cn(у) = Dn(у).
6*
84
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
то говорят, что функция Fl (t) является вырожденной и решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1 с ядром (7.1), (7.2) может быть получено в замкнутом виде. Действительно, подставляя (7.1), (7.2) в уравнение (7.1) гл. 1, будем иметь
С N
) Ф(?) (— Щ1 — я I + d]dl = nf(x) + я 2 ЬпСп (у) (| ж К 1)*
JT1 п—1 ' /
(7-3)
где d = d0 + In Я и введено обозначение
і
bn = -±\v(t)Dn[^)dt. .(7.4)
— Ї
Пусть теперь ф0(г) есть решение уравнения (7.3) при Ъп = О, а ф*(г) (к < iV) есть решение уравнения (7.3) при f(x) = 0 и
Ъп = 0 (пФ к). Такие решения, как это следует из изложенного
в предыдущих параграфах, могут быть точно построены. Тогда решение уравнения (7.3) можно представить в форме
Ф (х) = 2 VPfi (z) (Ь0 = 1). (7.5)
к~О
Внося (7.5) в (7.4), получим систему N алгебраических уравнений для определения постоянных Ък\
N
Ъп = 2 Cn (ft = Ij • • •» N),
ft=l
(7.6)
ahn — — J фй (і) Dn j d\, Cn = — J Фо (I) Dn \ dt*
-1 ' -1
Очевидно, таким же образом может быть построено замкнутое решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, если его ядро
(7.11) гл. 1 представлено в виде
N
k(t) = к0 (t) + Gl (t) + d0, Gl(t) = ^Cn[j)Dn[^-) (7.7)
и известен способ нахождения точного решения уравнения і
J ф (і) к0 dt = nf (X) (М< 1). (7.8)
Отметим другое важное для дальнейшего обстоятельство. Если каким-то образом построено (точное или приближенное) решение фе(я) интегрального уравнения (7.1) гл. 1 для правой
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА
85
части вида
Цх) = е~и* (7.9)
при любом є, то это открывает возможность для конструирования решений уравнения (7.1) гл. 1 в случае более сложных по структуре функций f(x). Действительно, если функция
/ (х) є Hi (— I, 1) (0 < а < 1) и представима рядом Фурье
OO
/W = . S fne~inx, (7.10)
71=— OO
то решение уравнения (7.1) гл. 1, очевидно, имеет форму
OO
ф(я)= 2 /пф п(х). (7.11)
П=—OO
Продифференцируем обе части уравнения (7.1) гл. 1 с правой частью (7.9) и решением ф8(г) к раз по е. Будем иметь і
J ? [Фе (?] к (—-) dl = n(~ ix)he~iEX. (7.12)
-I
Устремим, далее, в (7.12) є к нулю; в итоге получим і
I Щ&) d^ = n(~ix)h’ Фй (ж) = IcPe (ж)]. (7.13)
Вспомним теперь, что любая функция / (х) є #“ (— I, 1) (О < ос sS 1) может быть с любой степенью точности аппроксимирована полиномом [12]
/ (х) « SJhXh. (7.14)
fc=0
Тогда согласно (7.13) приближенное решение уравнения (7.1) гл. 1 в случае правой части (7.14) представимо в виде
