Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 29

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 105 >> Следующая


P (*> = IIFbnn-J P ^ * (s) (7-41)

а

Наконец, выполняя дифференцирование в (7.41), используя снова

(7.34) и принимая во внимание симметричность функции Rxit, s) относительно ее аргументов, придем ко второй формуле

(7.31). Теорема доказана.

Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что величині ц не входит в формулу (7.38), поэтому следует ожидать, что при определенных дополнительных условиях относительно ядра T(t, s) и правой части g(t) теорема 2.11 верна и при (1-+0 в

(7.16), т. е. для интегрального уравнения первого рода

ь

— \ T (t, s)ty(s)ds = g (t) (a^t^b). (7.42)

а

В этом случае функция pit, т) (я<т<Ь) должна естественно определяться [14] как решение в классе L (я, т) уравнения

T

— J T it, s) P (S3 т) ds = 1 (я ^ t ^т), (7.43)

а

а функция М(х) —равенством (7.35).
90

ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Чтобы применить формулу (7.38) к интегральному уравнению (7.1) гл. 1, (1.3), введем новые переменные и обозначения

= s, x%~l = t, %~1 = Ъ, nK~lf(x)=g(t), <р’(ж)=іК0' (7.44)

и перепишем его для четного случая (четные f(x) и ф(я)) в виде

ь

T+ (t, s)ds = g(t) (0<?<Ь),

T(t, s) — Jc (s — t) Jc (s ?). Теперь, если p+(t, т) есть решение уравнения

и функция

J р+ (s, т) T + (t, s) ds = 1 (0 < t ^ т)

M+ (т) = Ji?+ (t, т) dt

(7.45)

(7.46)

(7.47)

при т > 0 обладает отличной от нуля и непрерывно дифференцируемой производной, то общее решение для четного случая при f(x)^C2( — l, 1) в соответствии с (7.38) будет

г|)(0

[м'+(т) dx J

р+ (s, т) g (s) ds р+ (t, Ъ) —

О -1т=Ь

T

I d

і L + • о

dv. (7.48)

В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение (1.2), являющееся частным случаем уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) . В случае (1.2) имеем

P (я, т) -

я [In (2/т) 4- d] Zt2-X2 и тогда по формуле (7.48) найдем

, M(X) = -J

[In (2/т) + <ІІ

(7.49)

m (r\ = ц(1)(1п2+<г) г + (I)_1_ (1 M-' (T) + тц" (т)

TtVi-X2 п

T

W-2J

/+ (І) dl IV^tг

(7.50)

, / (*) = /+ (ж).
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»

91

В заключение этого параграфа отметим, что, зная общее решение (7.48) интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) для четного случая, нетрудно построить его общее решение и для нечетного случая (нечетные f(x) и ф(г)). Действительно, имеет место

Теорема 2.12 [4]. Если —I, 1) и ф+(ж) есть

решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) для случая

есть решение указанного уравнения, соответствующее /- [х).

В справедливости теоремы нетрудно убедиться, если постоянную с определить из условий ф+(±1) = 0 (см. условия (8.11) в следующем параграфе) и принять во внимание соотношение

В качестве примера вновь рассмотрим интегральное уравнение (1.2) и получим его общее решение для нечетного случая. Пусть в соответствии с теоремой 2.12 в формулах (7.50) функция f+(x) имеет вид (7.51). Полагая в (7.50)

определим постоянную с и получим решение для четного случая, удовлетворяющее условию ф+(±1) = 0. Затем по формуле

(7.52) найдем

Решения (7.50) и (7.52) аналогичны решениям (4.15), (4.17) и (5.29), (5.30).

§ 8. Асимптотический метод «больших h>

1. Наложим более жесткие, чем (1.19), ограничения на функцию Ь{и). Именно, будем предполагать, что L{u)> 0 и

t(it)-l|< е~ки 2 Api (0 <U< оо; Aix к > 0). (8.1)

X

(7.51)

О

обращающееся в нуль при я = ±1, то

ф- и = ф+ (х)

(7.52)

(7.53)

|А(1) (1п2 + <г)-‘ + JA7(I) = O,

(7.54)

1

T

771

Тогда справедлива [4]
92

ГЛ.. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Лемма 2.5. При всех значениях Ul<°° к (t) = — In UI + I0 (t),

(8.2)

OO

(8.3)

о

причем функция l0(t) непрерывна со всеми производными при Ul /?< оо и представима при Ul < к абсолютно сходящимся рядом

Соотношения (8.2) и (8.3) следуют из (1.21), (1.24) и

(1.25), если учесть, что C1 = O. Далее, раскладывая в (8.3) cos ut в ряд, придем к (8.4). Для оценки IdnI (п> 1) воспользуемся неравенством (8.1). Получим выражение

откуда следует абсолютная сходимость ряда (8.4)' при Ul < и. Также нетрудно с помощью неравенства (8.1) убедиться, что любая производная I0 (t) есть непрерывная функция.

Внесем теперь (8.2) в (7.1) гл. 1. Будем иметь

Следует отметить, что в § 8 гл. 1 при К (и) > О установлена разрешимость интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3), а следовательно, и интегрального уравнения (8.5) в классе H обобщенных решений, если /(ж)єЯ“(—1,1) (0<<X<1)'. Допустим теперь, что /(ж)єЯ“(—1,1) (0<а<1). Тогда указан-

ные интегральные уравнения будут тем более разрешимы в Н. Оценим интеграл

і / 00 \ V2

OO

OO

о

(8.4)

(» = 1, 2, ...)'.

I 1

- J ф (?) In dl = nf (х) — J ф (g) Z0 (1--) ^ (М<1).

(8.5)
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»

93

При получении оценки (8.6) использованы неравенство Коши — Буняковского в H и формула (8.1). В силу (8.6) правая часть уравнения (8.5) принадлежит пространству #“(—1,1) (0<а<1). Тогда в согласии с теоремой 2.2 имеют место формулы обращения (2.36), (2.37)
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed