Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для случая с) рассмотрим вспомогательный интеграл
к,
W = ТІ TCT'eiVd^' M [I) = I2K [I), |е|«г. (1.10)
Если в (1.10) контур интегрирования совместить с вещественной осью, то
OO
&є (t) = J cos ut du. (1.11)
о “ +е
Преобразуем (1.11) следующим образом:
ос оо
: (t) = Г (cos ut — е u2) du + Г — е — du. (1.12)
J U "4-* ?> Ju —[- є
Оцепим последний интеграл в (1.12) при є -*¦ 0. Принимая во внимание, что на вещественной оси функция M (и) ограничена при « < m < оо и возрастает на бесконечности как и, имеем
OO I OO
ГМ(ЛЄТ-du + JIf3J!
JuA-S J ил 4- е J
о
па
— 1/2
“2 ’ f^ue “2du
и^ + е* ' uJ U2 + є2 О Iі
л* Ге и du , I ,, Г е , ,Я е!
<^2 TV-+TmA -------------------------тr = -^a(1-erfe)5ie -
J U + Є z J u; + 8 - ^lfc
О
M3 у е®2 Ei (-є2) = 0(8'1). (1.13)
Здесь M2 и M3 — постоянные, erf X — интеграл вероятности, Еі(ж)—интегральная показательиая функция. G учетом (1.13) при є ->- О выражение (1.12) представим в виде
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ
53
На основании (1,14) для случая с) получим
OO
k(t) = J К (и) (cos ut — е~и2) du + d%, (1,15)
о
где d%— бесконечная постоянная. Выражение (1.15) будем называть первым вариантом представления ядра (7.11) гл. 1 для случая с).
Возьмем теперь в (1.10) в качестве контура интегрирования Г прямую, параллельную вещественной оси (Ы<°°, v = б, Iel < <|6|<с). Пусть для определенности б > 0. Тогда в полосе Iи\ < оо, О =? и =? б подынтегральное выражение в (1.10) будет иметь полюс в точке ? = І&. Спускаясь на вещественную ось и используя теорию вычетов [2], получим следующее выражение для интеграла (1.10):
OO
ke(t)= f -f-Цг cos ut du — M (ге) e~8t. (1.16)
J и + є о
Далее, как и выше, при є -*¦ О найдем
OO
ке (t) = (cos ut - е~и2) du + \М (O) t + О (є-1). (1.17)
О
На основании (1.17) для случая с) будем иметь
OO
k(t) = J К (и) (cos ut — е~и2) du + у Сг + d*f (1.18)
о
С = Iimu2K (и),
U-M)
Выражение (1.18) будем называть вторым вариантом представления ядра (7.11) гл. 1 для случая с). Заметим, что если контур Г в (1.10) есть прямая, лежащая ниже вещественной оси (б < 0), то, подобно изложенному, вновь получим представление (1.18), но со знаком минус перед членом (я/2) Ct.
Помимо предположенного ранее относительно свойств символа K(t,) ядра (7.11) гл. 1 допустим теперь, что во всех случаях а), Ь) и с) для него имеют место формулы
К(и)и = L(u) = I + +0(-^\ (и-*- оо),
I С| (1Л9)
|L(W)- (0<w<oo,p>0,5>0).
54
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Далее, нам также понадобятся следующие интегралы:
оо оо
О
(1.20)
оо
О
здесь С — постоянная Эйлера.
Умножим первый интеграл (1.20) на 1, второй на —C1, затем сложим их и вычтем полученное равенство из соотношений (1.3), (1.9), (1.15) и (1.18). Тогда соответственно для случаев а), -Ь) и с) будем иметь
Заметим, что в процессе преобразования выражения для Ri использован третий интеграл (1.20).
Формулы (1.21)-(1.23) можно записать единообразно:
k{t) = —In Iil + ГоUI + Ti + l(t)+ lZznCt sgn 8 (го, г, = const),
а относительно функции I (t) имеет место следующая
Лемма 2.1. Функция I(t) такова, что ее первая производная при UJ (R < оо) удовлетворяет условию Гельдера с показа-
телем а = 1 — є (є > 0).
к (t) + In 111 + -g" Cj 111 — R0 + I (t), к (t) + In 111 -)—2" ci I ^ I = + і (О “Ь
(1.22)
(1.21)
о
а постоянные Ri (і = О, 1, 2) имеют вид
CO
OO
О
О
(1.25)
(1.26)
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ-
55
Иными словами, в лемме утверждается, что І (і)єЯ^_в(—i?, R), Для доказательства продифференцируем функцию l(t). Будем иметь
оо
по =-Дед-і-
sin ut du.
(1.27)
Интеграл в (1.24), а также интеграл в (1.27) сходятся в силу первого соотношения (1.19), а также с учетом того, что при и-*- О функция L(u) для всех рассматриваемых случаев возрастает не сильнее, чем и~'
Оценим теперь разность
OO
J (и) — I-----------------^ I (sin Uti — sin ut2)di
<2
L(u)-1--1
sin bu
du. (1.28)
Здесь ti, Z2 s [—Я, Я], ^=(Z1-Z2)/2. Далее, используя неравенство (1.19), получим
(1/ь
Isinbal J., o_Jf /sin bu\ _j_
\V (Z1) - I' (t2) I < 2p і 'ГГ, du - „r , . , , .
V1 w ^ J u (u + g) ^ IJ
+
Vi
1/ь
sin би I
(“+ ?)
dw
1O
(I/Ь OO
6L-T?+I
O 1/6
da
(“+?) j
= In ~b-qb- + In (I + qb)|< у (— ln^ + qb + q2b2-).( 1.29}
Отсюда видно, что
U'(Z1)-Z'(Z2) I ^M4IZ1-Z2I1-' (e >0, M4 = Const)'. (1.30)
Следствие 2.1. Поскольку Z(O)=O, то
Z(Z)-Z2"8 (Z + O). (1.31)'
Действительно, ИЗ (1.30) при ti = t и Z2 = О имеем
Ir (Z)I < M4IiIi-8, (1.32)'
а из (1.32)' легко следует (1.31) .
Таким образом, на основании формул (1.26), (1.31) можем
заключить, что для всех случаев а), Ь) и с) при очень больших 1K
ядро (7.11) гл. 1 ведет себя следующим образом:
Zc(Z) = -In 16 —si +d. (1.33)
56
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Исследование интегрального уравнения (1.2) имеет общее значение и будет произведено в последующих параграфах.