Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= 0. Например, в случае прямоугольного параллелепи- рис 2.6
случаях Jxy - Jxz - Jyx - Jyz -Jzx-Jzy 26
Механика
педа (рис. 2.8) Jxy =-Е^тіхіУі = Q Так как Ддя всякой массы Ami с
і
данными значениями xi5 yi5 Zi найдется симметрично расположенная масса Am' с теми же значениями Xi и Zi , но с противоположным значением у..
X
Рис. 2.7
<э
У
Рис. 2.9
X
Am1i Ami
- с
I I I о У
I
Рис. 2.1
Рис. 2.10
В заключение этого раздела рассмотрим пример нахождения главных осей инерции для плоской прямоугольной пластинки со сторонами а и Ь, масса которой m (рис. 2.11).
Ясно, что одна из главных осей инерции для точки О (ось Oz) перпендикулярна плоскости пластинки; на рис. 2.11 она не показана. Оси Ox и Oy, направленные вдоль сторон пластинки, не являются главными. Действительно, в этом случае
¦ - Ь2
Г 2 m Г Г 2 D
Jxx = J у dm = — J dxj у dy = m—; (2Л8)
о о b
Jyy = JVdm = ^JdyJx'dx = пА; (2Л9)
о о
Рис. 2.11 Лекция 1
27
Jxy = -[xydm = --r^ fxdxfydy = -m< 0. (2.20)
ab J J 4
Допустим, что оси Ox' и Oy', повернутые на угол а относительно
осей Ox и Oy — главные оси инерции для точки О. Соответствующее преобразование координат имеет вид:
[х = x'cosa + у'sin a; (2.21)
[у = -х' sin a + у' cos a. (2.22)
Тогда будем иметь
Jxx = Jy2dm = J(-x'sina + y'cosa) dm = Jy, sin2 a + Jx, cos2 a. (2.23)
Здесь учтено, что для главных осей Ox' и Oy' Jx'у'dm = 0. Аналогично
Jyy = Jx2dm = J (x'cosa + у'sin a) dm = Jy, cos2 a + Jx, sin2 a. (2.24)
Jxy = -J xydm = -J (x' cos a + у' sin a)(- x' sin a + у' cos a)dm
= -^2 sin2a(Jx, - Jy')-
(2.25)
Подставляя в (2.23 - 2.25) значения Jxx, Jyy, и Jxy из (2.18 - 2.20), получим систему трех уравнений для нахождения Jx,, Jy, и а:
Jv, sin2 a + Jv, cos2 a = m
Jy, cos a + Jx, sin a = m (jx, - Jy,) sin 2а = m 3^ •
3 ' і2 3 '
Из этой системы, в частности, легко получить, что
tg2a =
3^ ab
2 b2 - а2
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Для сравнения: если а0 — угол между осью Oy и диагональю прямоугольной пластинки, то
2ab
tg2a0 =
b -а
2 5
(2.30) 28
Механика
то есть а < а0. Это означает, что главная ось инерции Oy' не проходит через
центр пластинки. И только в случае квадрата, когда a = b, а — —, главная ось
инерции Oy' будет направлена по диагонали квадрата. Этот пример наглядно показывает, что если главные оси инерции — нецентральные, то ни одна из них в принципе может и не проходить через центр масс тела.
Момент импульса твердого тела относительно оси. Момент инсрции ог-носительно оси. В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, обычно оперируют с понятиями момента импульса и момента инерции относительно оси. Момент импульса L относительно оси — это проекция на данную ось момента импульса L, определенного относительно некоторой точки О, принадлежащей оси, причем, как оказывается, выбор точки О на оси значения не имеет.
Действительно, при вычислении L существенно лишь плечо импульса Ар,- = Am относительно оси вращения О'О" (рис. 2.12), то есть кратчайшее расстояние Pi массы Ami до оси:
(Li )ц =Ami(FiXVi)I =AmiPiVi=(AmiPf)CO. (2.31)
Здесь учтено, что скорость массы Ami при вращательном движении Vi = Copi; Vi_LР;.
Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Пусть оси Ох, Oy, Oz на
рис. 2.12 — главные оси инерции для точки О, О'О" — неподвижная в лабораторной системе ось вращения, жестко связанная с телом. Вектор угловой
скорости сэ, направленный вдоль О'О", можно разложить по осям системы координат xyz:
сэ = {сох, соу, coz} = {cocosa, cocos?, cocosy}, (2.32)
где cosa, cos?, cosy — направляющие косинусы оси О'О". Вектор L не совпадает с сэ и при вращении тела описывает коническую поверхность, симметричную относительно О'О". Вектор L также можно разложить по
осям системы xyz: L = |lx, Ly, Lz J, причем
О' Ami
Рис. 2.12
Lx — Jxcox,
Ly — J уСОу,
Lz — JzCOz,
(2.33)
где Jx, Jy, Jz — главные моменты инерции.
Проекция вектора L на ось вращения, или, что то же самое, момент импульса относительно оси Лекция 1
29
Lco LxCOx +LvCOv +LzCOz Jx®x +Jveiv + Jzc0z
L_ «AJ _ ^XtuX 1 ^ytuY 1 ijZtuZ _ ^XtuX 1 "y^y -z—z _
II — — — ^ ' со —
(2.34)
CO CO CO2
= (jx cos2 a + Jy cos2 ? + Jz cos2 yjco = Jco,
где
J = Jxcos2a +J cos2? +JzCos2у (2.35)
У
— момент инерции относительно оси.
Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные
моменты инерции Jx, Jy, Jz и ориентация оси вращения относительно главных осей инерции (углы a, ?, у). Во многих случаях такое вычисление оказывается значительно проще, чем прямой расчет по формуле
J = LAmiP2
(2.36)
(см. (2.31)).
Отметим, что, в соответствии с данным выше определением, L ~~ величина скалярная (проекция вектора L на ось вращения). Вместе с тем можно говорить и о векторе L , рассматривая его как составляющую вектора L вдоль оси:
