Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
или
L =J со +J со +J-co
X XX X xy y Xz z
Ly = JyxCOx + JyyCOy + Jyzcoz; Lz = Jzx®x Jzy®y Jzz®z )
(2.9)
(2.10) (2.11)
где Jk^ — 9 компонент так называемого тензора инерции J твердого тела относительно точки О:
J J
XX ху XZ
J J
Ух уу У2
J J
ZX Zy ZZ
(2.12)
Диагональные элементы тензора Jxx, Jyy, Jzz называются осевыми момен
тами инерции, недиагональные элементы Jxy, Jyx, Jxz, Jzx, Jyz, Jzy назы- 24
Механика
ваются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что Jxy =Jyx, Jxz = Jzx' Jyz = Jzy - Такой тензор называют симметричным.
Если координатам х, у и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (2.9-2.11) можно представить в виде
Lk=EJwta/; к, ?=1, 2, 3. (2.13)
/=і
В символическом виде можно записать так:
L = Jc (2.14)
Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин Jw (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и со, причем оказывается, что L, вообще говоря, не совпадает по направлению с со (рис. 2.5).
Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике — тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной — три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор — это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих
Рис 2 5 координат).
Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае L и со решающую роль играет "анизотропия" формы тела (отсутствие определенной симметрии относительно осей xyz). В других случаях это может быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества. Так, векторы поляризации вещества P и напряженности электрического поля E связаны тензором поляризуемости a: P = є0аЕ (є0 — электрическая постоянная). Это означает, что в силу анизотропии электрических свойств вещество поляризуется "не по полю", то есть "не по полю" смещаются положительные и отрицательные заряды в молекулах вещества. Примерами других, в общем случае тензорных величин являются диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вещества. Важную роль в механике играют тензоры деформаций и напряжений. С этими и другими тензорными величинами вы познакомитесь при изучении соответствующих разделов курса общей физики.
Замечание. Если r;, со и L в выражении (2.3) проектировать на оси
лабораторной системы XYZ, то компоненты тензора Jw оказались бы зави- Лекция 1
25
сящими от времени. Такой подход в принципе возможен; он, в частности, используется в Берклеевском курсе физики [7].
Главные оси инерции. Возникает вопрос: возможен ли для произвольного твердого тела случай, когда векторы L и сэ совпадают? Оказывается, что для всякого тела и любой точки О имеются по крайней мере три взаимно перпендикулярных направления сэ (или, другими словами, три взаимно перпендикулярных оси вращения), для которых направления L и сэ совпадают. Такие оси называются главными осями инерции тела.
Если оси Ox, Oy и Oz совместить с главными осями инерции тела, то
матрица Jw будет иметь диагональный вид:
Jo =
XX 0
0 Jw 0
УУ
0 0 Jzz J
(2.15)
Величины J =J,J =J,J =J
XX х' уу у' ZZ 5
моментами инерции тела. При этом
Lx = Jxcox,
в этом случае называются главными
Ly-J у COy,
Lz=Jzcoz, (2.16)
то есть, действительно, если вектор сэ направлен вдоль одной из главных осей инерции тела, то вектор L будет направлен точно так же (рис. 2.6).
Расположение главных осей инерции в теле и значения соответствующих главных моментов инерции зависят от выбора точки О. Если О совпадает с центром масс, то главные оси называются главными центральными осями тела. Если главные оси инерции тела известны, то значения главных моментов инерции вычисляются из геометрии масс. Например:
Jx =L Аш^Гі2-X2i) = ? Ат;(у2+zf) = ? AmiPf. (2.17)
Здесь Pi — расстояние элементарной массы Ami от главной оси Ох.
Как же определить главные оси инерции для выбранной точки О твердого тела? Если оси Ox, Oy и Oz проведены в теле произвольно, то в общем случае они не совпадают с главными осями инерции. Такого совпадения можно добиться путем некоторого поворота исходной системы координат относительно твердого тела. В новых координатах матрица
Jw становится диагональной.
Во многих случаях главные оси инерции удается легко определить из соображений симметрии. На рис. 2.7-2.10 изображены главные оси инерции для различных точек тел, обладающих определенной симметрией: цилиндра (рис. 2.7), прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.8), куба (рис. 2.9) и шара (рис.2.10). Легко сообразить, что во всех этих
