Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
направлению, так что авр и ап не перпендикулярны друг другу.
Проекции вектора мгновенной угловой скорости о на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом, можно выразить через углы Эйлера
Ф, 0 (см. рис. 1.3) и их производные по времени ф, 9- Действительно, вектор о можно представить в виде суммы трех составляющих:
о = фе2+\|/eZo+0еОА. (1.27)
Здесь ez и eZo — единичные векторы вдоль осей Oz и Oz0 соответственно, eOA — единичный вектор вдоль линии узлов OA (на рис. 1.3 эти орты не
показаны). Определим проекции векторов фе2, ц/ e7fj, 0еОА, входящих в (1.27), на оси системы xyz (см. рис. 1.3):
(<pez)x=0; (<pez)y= 0; (фе2)2=Ф; (I-28)
(v ezo )х = у sin 0 • sin ф; (\|/eZo)y = \|/sin0 • совф; (\|/ eZQ )z = \|/ cos 0; (1-29)
(0eOA)x = 0cos9; (0eOA)y =-0sin9; (0eOA)z=O. (1-30) Из (1.27 - 1.30) получим:
юх = \|/ sin 0 sin ф + 0 cos ф;
(1.31)
(Oy = \|/ sin 0 cos ф - 0 sin ф; (1-32)
¦ ¦ u (1-33)
Q)z = ф+ COS 0. v ' 18
Механика
Уравнения (1.31-1.33) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они, в частности, позволяют определить величину и направление вектора мгновенной угловой скорости о, если закон движения тела задан в виде (1.22).
В ряде случаев вращение тела с закрепленной точкой вокруг мгновенной оси удобно представить как суперпозицию двух вращений вокруг пересекающихся осей. В случае, изображенном на рис. 1.22, вершина конуса шарнирно закреплена в точке О; ось конуса горизонтальна, а основание конуса катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости S. Вектор угловой скорости о направлен вдоль мгновенной оси вращения OM (скорость точек О и M равна нулю); при движении конуса мгновенная ось вращения изменяет свое положение, описывая некоторую коническую поверхность с вершиной в точке О. Абсолютное вращение конуса с угловой скоростью о можно представить в виде суммы
о = O1 + о,, (1-34)
где CD1- угловая скорость относительного вращения конуса вокруг собственной оси симметрии, о, — угловая скорость переносного вращения самой оси
конуса вокруг вертикали. Если задана ю2, то
Рис. 1.22
(O1 = ю2 ctga = (O1
h ю2 VR +h
—; (о = —— = ю2-,
R sina R
где a — угол полураствора конуса, R — радиус основания конуса, h — его высота.
Замечание. Движение тела, представляющее собой одновременное вращение вокруг нескольких осей с угловыми скоростями O1, о,, со,, ... , может быть сведено к вращению вокруг одной оси с угловой скоростью
0=0^0, + 0., + ... (1.35)
только в том случае, когда все оси вращения пересекаются в одной точке.
Движение свободного твердого тела. Свободное твердое тело может совершать любые перемещения относительно лабораторной системы XYZ. В этом, самом общем случае, оно имеет 6 степеней свободы.
Опираясь на теорему Эйлера (см. выше), движение свободного твердого тела можно представить в виде суперпозиции поступательного движения, при котором все точки движутся, как произвольно выбранный полюс (начало системы x0y0z0), и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс. Этому рассмотрению соответствуют 6 независимых координат: 3 декартовы координаты X, Y, Z точки, принятой за полюс, и 3 угла Эйлера ср, \|/, 0 (см. рис. 1.3).
Положение произвольной точки А тела в лабораторной системе XYZ определяется радиус-вектором гА: Лекция 1
19
rA =rO+ 1A, (1-36)
где г0 — радиус-вектор точки О, принятой за полюс, Гд — радиус-вектор
точки А относительно полюса. Скорость точки А
VA =V0 +О X Г^, (1.37)
где v0 — скорость полюса, а со х ід — линейная скорость вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс. Ускорение точки А
do , dri
аА =а0+-^гХгА+ох —. (1.38)
Здесь а0 — ускорение полюса, ^ хід — ускорение, обусловленное изменением вектора мгновенной угловой скорости со по величине и направле-drA
нию, (о X — центростремительное ускорение (см. формулу (1.26)).
Замечание 1. Принимая за полюс различные точки свободного твердого тела (или даже точки вне его), можно получить бесчисленное множество разложений его движения на поступательное и вращательное. При этом, как и в случае плоского движения, кинематические характеристики переносного поступательного движения V0, а0 будут зависеть от выбора полюса. Кинематические же характеристики относительного вращательного движе-dto
ния о, , от выбора полюса на зависят, dt
Замечание 2. Произвольное (неплоское) движение твердого тела невозможно свести к чистому вращению вокруг мгновенной оси. Однако, можно показать, что в этом случае существует мгновенная ось так называемого винтового перемещения твердого тела. Произвольное движение твердого тела в любой момент времени можно представить в виде суперпозиции вращательного движения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль этой же самой оси. Естественно, в общем случае с течением времени положение мгновенной оси винтового перемещения в пространстве и относительно тела изменяется. Лекция 1
21
ЛЕКЦИЯ №2
Динамика абсолютно твердого тела. Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс.
