Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алешкевич В.А. -> "Механика твердого тела" -> 7

Механика твердого тела - Алешкевич В.А.

Алешкевич В.А. , Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика твердого тела — М.: МГУ, 1997. — 72 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikatverdogotela1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 23 >> Следующая


Задача динамики абсолютно твердого тела — изучить движение тела в зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела этих понятий оказывается недостаточно.

Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один цилиндр, изготовленный из более легкого материала, пусть будет сплошным, а другой, изготовленный из более тяжелого материала, — полым. Опыт показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а); в частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости. Иное дело, если ПЛОСКОСТЬ Рис. 2.1

шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь вокруг своей оси (рис. 2.16), — в этом случае быстрее скатывается сплошной цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение массы относительно оси вращения.

Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2 а,б). Для



тФ

W т

зать, что при вращательном движении тела существенную роль играет не сама сила, а ее момент: если перебросить нить на шкив большего радиуса, то раскрутить эти тела бу-

раскручивания стержней с грузами до угловой скорости CO0 в случае рис. 2.26 требуется большее

время, чем в случае \ а / ч б ¦¦ '

рис. 2.2а. В этих же > _ ' _ /

опытах можно пока- 7 ^ / /-л \

CO1= О CO2= CO0 At12= to

Co1= О CO2= CO0

At12> to

Co1= О CO2= CO0 At12< to 22

Механика

дет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции, момент импульса, момент силы.

Момент импульса. Тензор инерщш. Момент импульса тела относительно неподвижной точки — важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:

L = XApi = ?AmiI- XVi. (2.1)

Здесь Api = AmiVi — импульс элементарной массы Ami в лабораторной системе XYZ, a Ti — радиус-вектор массы AmiC началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.

С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости со.

Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы т, укрепленные на концах невесомого стержня AB (рис. 2.3). Стержень с массами вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае

L = Iiir1 Xv1+ Iiir2 Xv2= 2mr2co. (2.2)

Здесь учтено, что T1 = r2 = г , а

V1 =V2 = COr.

Существенно, что в этом примере вектор L направлен так же, как и со. К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень AB с двумя массами m на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом а к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со вектор L, определенный по (2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол

^ - а с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор L остается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по конической поверхности

к

с углом полураствора — - а .

Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.

Пусть Г; — радиус-вектор элементарной массы Am; твердого тела, а со — угловая скорость. Тогда

X

too

л

L

m Г)

си=

А

О

Рис. 2.3

T2 m

В

Z
і ,со

В
а рт
Г 2
О У

Рис. 2.4 Лекция 1

23

L = am ігі х vi amі гіх (^x гі) =

і і a b с

= J^Ami Wri Гі) - Г;(Г; со)Y = ? Am;{сог2 - г;(г;со)}.

і [baccabji (2 3)

Векторы Г;, со и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить).

Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции Г; являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L оказываются проще. Итак, в системе xyz

гі ={хі,Уі,2і}, <» = {cox,coy,coz}. (2.4)

Тогда, продолжая (2.3), можно записать:

L = ? Ат;{сог2 - г,-(XiCOx + у;соу + ZiCOz)] ?.5)

і

Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде:

Lx =^AmiJr2 -х2)сох +^(-AmiXiyі)соу + ?(- AmiXiZi)coz; (2.6) і і і

lY = АтіУіхіК + ? Am ^ri2 - Уі )o>y + ?(- AmiyiZi)coz; (2.7) і і і

Lz =?(- AmiZiXi)cox + ?(- AmiZiyi)coy + J^Ami(r? -z2)coz, (2.8)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed