Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача динамики абсолютно твердого тела — изучить движение тела в зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела этих понятий оказывается недостаточно.
Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один цилиндр, изготовленный из более легкого материала, пусть будет сплошным, а другой, изготовленный из более тяжелого материала, — полым. Опыт показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а); в частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости. Иное дело, если ПЛОСКОСТЬ Рис. 2.1
шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь вокруг своей оси (рис. 2.16), — в этом случае быстрее скатывается сплошной цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение массы относительно оси вращения.
Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2 а,б). Для
тФ
W т
зать, что при вращательном движении тела существенную роль играет не сама сила, а ее момент: если перебросить нить на шкив большего радиуса, то раскрутить эти тела бу-
раскручивания стержней с грузами до угловой скорости CO0 в случае рис. 2.26 требуется большее
время, чем в случае \ а / ч б ¦¦ '
рис. 2.2а. В этих же > _ ' _ /
опытах можно пока- 7 ^ / /-л \
CO1= О CO2= CO0 At12= to
Co1= О CO2= CO0
At12> to
Co1= О CO2= CO0 At12< to22
Механика
дет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции, момент импульса, момент силы.
Момент импульса. Тензор инерщш. Момент импульса тела относительно неподвижной точки — важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:
L = XApi = ?AmiI- XVi. (2.1)
Здесь Api = AmiVi — импульс элементарной массы Ami в лабораторной системе XYZ, a Ti — радиус-вектор массы AmiC началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.
С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости со.
Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы т, укрепленные на концах невесомого стержня AB (рис. 2.3). Стержень с массами вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае
L = Iiir1 Xv1+ Iiir2 Xv2= 2mr2co. (2.2)
Здесь учтено, что T1 = r2 = г , а
V1 =V2 = COr.
Существенно, что в этом примере вектор L направлен так же, как и со. К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень AB с двумя массами m на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом а к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со вектор L, определенный по (2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол
^ - а с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор L остается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по конической поверхности
к
с углом полураствора — - а .
Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.
Пусть Г; — радиус-вектор элементарной массы Am; твердого тела, а со — угловая скорость. Тогда
X
too
л
L
m Г)
си=
А
О
Рис. 2.3
T2 m
В
Z
і ,со
В
а рт
Г 2
О У
Рис. 2.4Лекция 1
23
L = am ігі х vi amі гіх (^x гі) =
і і a b с
= J^Ami Wri Гі) - Г;(Г; со)Y = ? Am;{сог2 - г;(г;со)}.
і [baccabji (2 3)
Векторы Г;, со и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить).
Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции Г; являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L оказываются проще. Итак, в системе xyz
гі ={хі,Уі,2і}, <» = {cox,coy,coz}. (2.4)
Тогда, продолжая (2.3), можно записать:
L = ? Ат;{сог2 - г,-(XiCOx + у;соу + ZiCOz)] ?.5)
і
Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде:
Lx =^AmiJr2 -х2)сох +^(-AmiXiyі)соу + ?(- AmiXiZi)coz; (2.6) і і і
lY = АтіУіхіК + ? Am ^ri2 - Уі )o>y + ?(- AmiyiZi)coz; (2.7) і і і
Lz =?(- AmiZiXi)cox + ?(- AmiZiyi)coy + J^Ami(r? -z2)coz, (2.8)