Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к классическому простому примеру плоского движения — качению цилиндра по плоскости без проскальзывания. Рассматривая одно из сечений цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, мы придем к известной задаче о катящемся колесе (рис. 1.10). Центр колеса движется прямолинейно, траектории других точек представляют собой кривые, называемые циклоидами.
При отсутствии проскальзывания мгновенная скорость самой нижней точки колеса (точки М) равна нулю. Это позволяет рассматривать качение колеса как суперпозицию двух движений: поступательного со скоростью
V0
оси V0 и вращательного с угловой скоростью <и = —, где R — радиус колеса.
R
Ясно, что в этом случае vM = V0 - o)R = О.
Попробуем обобщить этот прием на произвольное плоское движение. Выделим отрезок AB в рассматриваемом сечении твердого тела (рис. 1.11). Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2 вокруг точки А', называемой обычно полюсом (рис. 1.11а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую сечению или даже лежащую в плоскости сечения вне его. На рис. 1.116, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути 12
Механика
при поступательном перемеще-1 ) ^ ^i y ^_^ ^ нии изменилась (в данном слу-
чае увеличилась), но угол поворота остался прежним!
Приближая конечное положение тела к начальному (сокращая рассматриваемый промежуток времени), приходим к выводу: плоское движение твердого тела в любой момент времени можно предста-< , , вить как суперпозицию посту-
пательного движения со скоростью некоторой точки, выбранной в качестве полюса, и вращения вокруг оси, проходящей через полюс. В реальной ситуации оба эти движения, естественно, происходят одновременно. Существенно, что раз-Рис. 1.11 ложение на поступательное и
вращательное движения оказывается неоднозначным, причем в зависимости от выбора полюса скорость поступательного движения будет изменяться, а угловая скорость вращения останется неизменной.
В соответствии со ска-, занным скорость любой точ-ки А тела (рис. 1.12) геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного дви-w Yq жения вокруг этого полюса.
/ Напомним, что система коор-
0 динат XYZ на рис. 1.12 — не-
Рис. 1.12 подвижная (лабораторная);
начало системы x0y0z0 помещено в некоторую точку О тела (полюс), а сама система x0y0z0 движется относительно XYZ поступательно, причем так, что оси Oy0 и Oz0 остаются в плоскости рисунка. Рассматриваемая точка А тела также движется в плоскости рисунка (плоское движение!). Радиус-вектор точки А
ГА=Г0+Г'- (1Л5)
Скорость точки А
Va =
drA dt
dfp dt
dr^ dt
= v0 + ю x г
(1.16) Лекция 1
13
Из (1.16) можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе XYZ равна нулю - для этой точки
V0 = -о X г' (1.17)
(рис. 1.13). Заметим, что эта точка не обязательно должна принадлежать телу, то есть может находиться и вне его. Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку M — такая ось называется обычно мгновенной осью вращения. В частности, для колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания (рис. 1.10), мгновенная ось вращения проходит через точку M соприкосновения колеса с плоскостью.
Существенно, что в разные моменты времени мгновенная ось вращения проходит через разные точки твердого тела и через разные точки лабораторной системы XYZ, сохраняя, конечно, свою ориентацию в пространстве.
Для того, чтобы определить положение мгновенной оси вращения, необходимо знать скорости каких-либо двух точек твердого тела. Так, на рис. 1.14 показано положение мгновенной оси вращения (точка М) для цилиндра,
V0
зажатого между двумя параллельными рейками, которые движутся в одну и ту же сторону с разными скоростями V1 и V,.
В ситуации, изображенной на рис. 1.15, стержень AB опирается на точку С и движется в плоскости чертежа так, что его конец В все время находится на полуокружности CBD. При этом мгновенная ось вращения стержня (точка М) находится на верхней полуокружности CMD и при движении точки В вправо перемещается по дуге этой полуокружности влево.
В случае, показанном на рис. 1.16, стержень, опирающийся одним из своих концов на гладкую горизонтальную плоскость, начинает падать из вертикального положения. При этом центр масс стержня опускается, оставаясь 14
Механика
В
I-------- о
,Y0
Рис. 1.16
скальзывания (рис. 1.17), скорость точки В
на одной и той же вертикали. Мгновенная ось вращения (точка М) перемеща-
ется по дуге окружности радиуса - ( ?
— длина стержня).
Зная угловую скорость ю и положение мгновенной оси вращения, можно легко определить скорость любой точки тела при его плоском движении. Так, в случае колеса, катящегося по
