Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.3 8
Механика
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Допустим, закон движения точки А задан в виде
гА =rA(t).
Тогда закон движения точки В будет иметь вид
rB = rA + rAB?
где гАВ — вектор, проведенный от точки А к точке В. Скорость точки А
СІГд
скорость точки В
drB
Vb=^ = Va,
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
так как гАВ — вектор, постоянный по величине (абсолютно твердое тело) и направлению (поступательное движение).
Ускорения точек А и В также равны между собой:
aA =
dvA dvr
= ав -
(1.6)
dt dt
Таким образом, кинематика поступательного движения твердого тела в принципе ничем не отличается от кинематики материальной точки.
Вращение вокруг неподвижной оси. Если при движении твердого тела какие-либо две его точки все время остаются неподвижными, то через эти точки можно провести прямую, являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в этом случае тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры окружностей лежат на этой оси.
Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой вращающегося диска точила (рис. 1.6): чем дальше от оси, тем длиннее сноп искр — тем больше скорость соответствующей точки диска. Лекция 1
9
При этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой данной точкой диска.
Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую характеристику — угловую скорость
Аф
ю = Iim -гг
At->0 At
Ckp
dP
(1.7)
Рис. 1.6
где Аф — угол поворота тела за время At.
Можно ввести вектор элементарного углового перемещения Aip, направленный вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого буравчика: если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения тела, то поступательное перемещение буравчика даст направление Aip. Устремляя интервал времени At, за которое произошло угловое перемещение Aip, к нулю, мы получим вектор угловой скорости
(кр
со =
dt'
(1.8)
который определяет, во-первых, модуль угловой скорости тела, во-вторых, — ориентацию оси вращения в пространстве, и в-третьих, — направление вращения тела. Следует подчеркнуть, что со — вектор скользящий в том смысле, что его начало можно совместить с любой точкой, принадлежащей оси вращения.
Например, для Земли, вращающейся вокруг своей оси с запада на восток, вектор со имеет направление от южного полюса к северному. Величина угловой скорости
Q)
2к
Земли
7,3 -IO"5 с"1.
24-3600 с
Для сравнения: угловая скорость орбитального движения Земли составляет
ю
ю
орб
Земли
365
2,0 • IO-7C-1.
Заметим, что период орбитального движения не кратен продолжительности суток, что создает известные трудности в построении календаря (необходимо вводить високосные годы и проч.).
Зная со, легко определить линейную скорость любой точки твердого
тела. Введем радиус-вектор гА некоторой точки А твердого тела, поместив его начало в точку О на оси вращения (рис. 1.7). Вектор р проведен в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно оси. 10
Механика
Вектор скорости Va можно связать с векторами гА и со:
Va=OXTa (1.9)
(формула Эйлера). При этом величина скорости
vA =юга sin а = ю р.
(1.10)
Ясно, что точку О на оси вращения можно выбрать произвольно — значение р = rA sin а будет одним и тем же.
Ускорение точки А
do drA
aa = - x га + co x -— = ex ra + 0)xva.
A dt A dt A A
(1.11)
do
Здесь e = — — угловое ускорение тела. Это
аксиальный вектор, направленный в ту же сторону, что и со, если вращение ускоряется, и противоположно со, если вращение замедляется.
Таким образом, ускорение аА является суммой двух величин:
аА=ат+ап, (1.12)
(рис. 1.8), причем все три вектора аА, ат и ап лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
^°2 Vb
у"
/ Ir" в * aB
/ I / /
ґ А Л Va
\ г I а aa
\_____ )
Oi
Рис. 1.1
Рис. 1.9 Лекция 1
11
а, = ехга = єрт (1.13)
— это тангенциальное ускорение (т — единичный вектор в направлении vA ).
an =OXVa =юх(юхга) =ю2рп (1.14)
— это центростремительное ускорение (п — единичный вектор в направлении к оси вращения). Эти составляющие полного ускорения хорошо известны из кинематики вращательного движения материальной точки.
Плоское движение — это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях. Если в теле провести некоторую прямую O1O,, перпендикулярную этим плоскостям (рис. 1.9), то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, или, как его иногда называют, плоско-параллельном движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.
