Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости со скоростью V0 без про-
Vd=Q) -MB = — • MB ; R
(1.18)
вектор vB перпендикулярен отрезку MB, соединяющему точку В с точкой М, через которую проходит мгновенная ось вращения. Естественно, vB можно представить и как геометрическую сумму двух скоростей: V0 — скорости по-
Puc. 1.18
ступательного движения оси колеса и V0 — скорости вращательного движения вокруг этой оси, причем V0 = V0 (рис. 1.17).
Рис. 1.18 иллюстрирует распределение скоростей на вертикальном диаметре колеса железнодорожного вагона. Мгновенная ось вращения проходит через точку M соприкосновения колеса с рельсом. Хорошо видно, что линейная скорость точки на краю реборды направлена в сторону, противоположную движению вагона.
Определим теперь ускорения точек тела при плоском движении. Дифференцируя выражение (1.16) по времени, получим для ускорения точки А
dvA dv0 do , dr'
aA = = ^r + Txr + о X — = а0 + ат + an. (1.19)
dt Лекция 1
15
Это ускорение складывается из трех частей (рис. 1.19): ускорения а0 точки О, принятой за полюс, тангенциального ускорения
do
а,= —хг =? X г (1.20)
и нормального ускорения
dr' 7
an = о X —— = OX((J)Xr) = о(о г ) - г (о о) = -юг (1.21)
2
vO
колеса и равно , где г
г — расстояние рассматриваемой точки до центра колеса. В этом примере в качестве полюса удобно выбрать центр колеса О,
тогда а0 =ах = 0, и оста-
2
vO
ется только a = .
г
Замечание. По аналогии с мгновенной осью вращения можно ввести мгновенную ось, ускорения всех точек которой в данный момент времени равны нулю. При этом следует иметь в виду, что эта ось, вообще говоря, не совпадает с мгновенной осью вращения. Так, в примере с колесом, катящимся по плоскости с постоянной скоростью, она проходит через центр колеса.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Примеры таких тел показаны на рис. 1.20: волчок с шарнирно закрепленным острием (а), конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы — начала систем XYZ и x0y0z0, введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:
ф = <p(t); v = ?(t); 0 = 0(t). (1.22)
Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено
(скалярное произведение (or') равно нулю, так как о±г').
Таким образом, ускорение любой точки А тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорения точки А за счет ее вращения вокруг этого полюса. Отсюда, в частности, следует, что ускорение любой точки колеса, катящегося по плоско- 2 сти без проскальзывания с постоянной скоростью
V о, направлено к центру 16
Механика
из одного положения в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках. Для нас важно следствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Естественно, что положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени в общем случае меняется.
Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x0y0z0) — это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, — это тоже коническая поверхность — подвижный аксоид. Например, в случае конуса AO1,
Рис. 1.20
катящегося по поверхности другого конуса AO2 без проскальзывания (рис.
1.21; точка А подвижного конуса шарнир-A - но закреплена) неподвижный аксоид со-
впадает с поверхностью неподвижного
конуса AO2, а подвижный аксоид — с поверхностью подвижного конуса AO1.
Скорость произвольной точки твердого тела можно рассчитать как линейную скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси:
v = o)xr, (1.23)
где г — радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x0y0z0), совмещенного с точкой закрепления. Следует только иметь в виду, что, в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, "плечо" вектора V (расстояние рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения) является функцией времени. Лекция 1
17
Ускорение произвольной точки твердого тела
a=dt = йгхг+юхж (L24)
состоит из двух частей: ускорения, связанного с неравномерностью вращения (изменением о по величине и направлению)
авр =^xr = Exr, (1.25)
и центростремительного (нормального) ускорения
dr / ч 7 an = о х — = о х (о х г) =-ю р, (1.26)
где P = p(t) — радиус-вектор, проведенный от мгновенной оси вращения в
do
рассматриваемую точку. Здесь следует помнить, что угловое ускорение ? = —
связано с изменением угловой скорости не только по величине, но и по
