Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
L|| =E Pi xaP І (2.37)
(вектор Pi изображен на рис. 2.12, Api = AmiVi). В рекомендуемых учебных пособиях можно встретить обе трактовки понятия момента импульса относительно оси.
Эллипсоид инерции. Формула (2.35) для момента инерции относительно оси допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
Представим, что через точку О начала координат системы xyz мы проводим прямые во всевозможных направлениях и на них откладываем от-
k
резки длиной R — (рис. 2.13), где к есть постоянная величина, имеющая
размерность кг 1/2 • м2. Геометрическим местом концов этих отрезков будет некоторая поверхность. Получим уравнение этой поверхности.
Пусть оси Ох, Oy, Oz на рис. 2.13 — главные оси инерции. Проекции вектора R на оси координат составляют
к
Rx =x = R cosa = -уу cosa, (2.38)
Ry = у = Rcos? =-yjcos?, (2.39) зо
Механика
откуда
cos a =
xVJ
Rz=Z = Rcosy = -yjcosy,
cos? =
yvJ
k ' " k Подставляя (2.41) в (2.35), получим
J = J,
x2J
+ J,
cosy =
zVJ
Y2J
+ J,
Z^J
і 2 '
(2.40)
(2.41)
(2.42)
или
Jx -x2 +J -у2+J2
= k2
(2.43)
Это, как известно, уравнение эллипсоида, который в данном случае называют эллипсоидом инерции.
Центр эллипсоида инерции, как видно из его уравнения, находится в начале координат системы xyz (точке О). Постоянная к может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; изменяя к, мы будем получать подобные эллипсоиды. Главные оси эллипсоида инерции являются главными осями инерции тела для точки О.
Эллипсоид инерции жестко связан с телом, а его положение относительно тела зависит от выбора точки О. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным. Если известно положение эллипсоида инерции, известно и положение всего тела в данный момент
времени. Рассматривая вращательное движение твердого тела, в ряде случаев можно абстрагироваться от его формы и иметь дело с эллипсоидом инерции. Для куба и шара, например, центральные эллипсоиды инерции вырождаются в сферу, поэтому эти тела с точки зрения многих задач механики оказываются эквивалентными.
Для примера рассмотрим сплошной однородный куб с ребром а и массой т. Эллипсоид инерции для центра одной из граней куба (точка О) показан на рис. 2.14. Полуоси OA, OB, ОС лежат на главных осях инерции для точки О, причем OA = OB лежат в плоскости боковой грани, а ОС -1,6 OA — перпендикулярна этой боковой грани. Для сравнения: эллипсоид инерции для центра куба вырождается в сферу с радиусом, равным ОС.
Понятие эллипсоида инерции позволяет с помощью достаточно простого графического построения уста-
Puc. 2.13 Лекция 1
31
новить связь между угловой скоростью сэ и моментом импульса L относительно точки О, принадлежащей оси вращения. Речь идет о так называемом построении Пуансо, которое мы приводим без доказательства: необходимо построить эллипсоид инерции с центром в точке О и в точке его пересечения с осью вращения (вектором угловой скорости сэ) провести плоскость, касательную к эллипсоиду. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида инерции на касательную плоскость, и даст направление вектора момента импульса L. Пример подобного построения представлен на рис. 2.14.
Вычисление моментов инерции относительно оси. Прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла
Рис. 2.14
J = Jp2- dm,
(2.44)
где р — расстояние элементарной массы dm до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.
Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах г, 0, ф, рис. 2.15) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси Oz):
m
m
dm = — dV = —г sinG drd0d(p;
m - масса шара, Y — его объем.
поэтому
р = г sin 0,
т m ,
dJ = р2 dm = — r4sin30-dr-d0-d(p;
(2.45)
(2.46)
(2.47)
2л
(2.48)
тг.гг, m к ч z 1
J= r4dr d(p sin30 d0 =----2n- = mR2.
Vjjj V 5 35
vOOO V^ JJ
Если считать, что наша Земля — шар с постоянной плотностью массы, то момент инерции Земли относительно центральной оси будет равен 32
Механика
^емли = 0,4 m3r3 = 0,4 • 6,0 • IO24Kr • (6,4 • IO6 м)2 « IO38 кг •
M
о
о
с
о
9
/ = 1,1 • 10 10M
Рис. 2.15
Рис. 2.16
Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы СО, относительно оси, проходящей через атом углерода перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все три атома (рис. 2.16).
Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер (~1014м) значительно меньше межядерного расстояния (~1010 м), поэтому атомы кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома углерода можно пренебречь.
При этих условиях J
со-
'2N.
где
Рис. 2.17 этих величин, получим
(J-O2 — молярная масса кислорода, Na — число Авогадро, ? — межядерное расстояние (см. рис. 2.16). Подставляя числовые значения
16 IO"3 кг ,„ ,
= 2 . -(1,1-IO40M)2
' со,
6-Ю
23
IO"45 кг-M2.
Для плоской фигуры моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, оказываются связанными между собой простым соотношением. Из рис. 2.17 следует, что
