Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
dJz =P2 • dm = (х2 +y2)dm = dJy +dJx,
откуда
J= J^ + J,
(2.49)
(2.50) Лекция 1
33
Это соотношение позволяет, например, легко вычислить момент инерции тонкого диска массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости (лю-
TTiR2
бая такая ось будет главной): J = —-—, поскольку момент инерции диска относительно главной центральной оси, перпендику-
TTiR2
лярной плоскости диска, J0 =-, а
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема связывает моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела.
Ось 1 нарис. 2.18 проходит через центр масс О, ось 2 параллельна ей; расстояние между осями равно а. Векторы R и р; перпендикулярны осям 1 и 2. Они проведены от осей в ту точку, где расположена масса Ami.
Момент инерции тела относительно оси 2
J = ^AmiP2 = EAmi(Ri - a)2 =EAmiR2 + ^Аш;а2 -2а^AmiRi. (2.51)
і і і і і
Последняя сумма равна нулю, поскольку ось 1 проходит через центр
масс, и
J = J0+ma2. (2.52)
Если, например, ось — касательная к поверхности шара, то можно, не проводя громоздких вычислений, записать:
J = J0+ mR2 =|mR2+mR2 =^mR2. (2.53)
Момент импульса тела относительно движущегося центра масс. До сих
пор, рассматривая момент импульса твердого тела, мы определяли его относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки (например, точки закрепления тела). Во многих задачах динамики это оказывается неудобно. Например, решая задачу о диске, скатывающемся с наклонной плоскости, логично рассматривать момент импульса диска относительно его центра масс, а не относительно точки, принадлежащей наклонной плоскости.
Рассмотрим, как будут связаны моменты импульса тела, определенные относительно некоторой неподвижной точки О' и относительно центра масс тела О, движущегося произвольным образом (рис. 2.19).
Пусть т{ и Г; — радиусы-векторы элементарной массы Ami тела относительно точек О' и О , R — радиус-вектор, проведенный из О' в О . 34
Механика
Эти векторы связаны между собой очевидным соотношением
г/ = R + Г;
Момент импульса тела относительно точки О' (см. формулу (2.1))
lO' = E1Y х Ami
dt
(r + Г;) X Am І
dR Clri
v dt + dt у
Воспользуемся очевидными равенствами
Ami
LAmi =M
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(М — масса всего тела);
? AmіГі=0 (2.57)
dr
и
Рис. 2.19
dR
поскольку точка О совпадает с центром масс тела. С учетом (2.56 - 2.58) из (2.55) получим
^ ClTi
L0, =RxM + Г; X Am; = Rxpi^ri х Am ^i
где P = M
dR
dt
dt-----Г ¦ —MM, (2.59)
полный импульс тела в лабораторной системе XYZ, Vi —
скорость 1-ои массы относительно центра масс.
Если момент импульса тела относительно его центра масс (относительный момент импульса) определить как
Lo =^riXAmiVi,
(2.60)
то из (2.59) следует искомое соотношение
L0 =L0 +Rxp. (2.61)
Еще раз подчеркнем, что при определении момента импульса тела относительно его центра масс (величина L0) следует брать относительные скорости всех точек тела, то есть скорости точек тела относительно центра масс, считая его как бы неподвижным.
Замечание. Соотношение (2.61) позволяет также связать моменты импульса относительно двух параллельных осей, одна из которых неподвижна, а другая проходит через центр масс движущегося тела.
Обратимся к примерам.
1. Момент импульса цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости, относительно его оси равен J0CO (J0 — момент инерции цилиндра относительно его оси, со — мгновенная угловая скорость вращения цилиндра). Момент импульса того же цилиндра относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку касания цилиндра и плоскости, будет равен Лекция 1
35
J0CO + Rmv0 = J0CO + Rm(coR) = (j0 + mR2)co = JCO, где J - момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения, R — радиус цилиндра.
2.Если шару массы m сообщить скорость v0, обеспечивающую движение по круговой орбите вокруг гравитационного силового центра О',то он
будет двигаться поступательно (l 0 = о), а его момент импульса относительно О' L0, =mv0R (рис. 2.20а). Если при этом шар будет вращаться вокруг собственной оси с угловой скоростью со, как показано на рис. 2.20б, то постоянный относительно точки О' момент импульса шара будет равен L0, = L0 +mvnR = J0CO+ mvnR .
Рис. 2.20
Расчеты показывают, что момент импульса планет Солнечной системы относительно собственного центра масс значительно меньше их орбитального момента импульса. Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, так что их орбитальные моменты импульса складываются арифметически. Интересно, что все девять планет движутся вокруг Солнца в одном и том же направлении, так что суммарный момент импульса Солнечной системы отличен от нуля. 36 Механика Лекция 1
37
ЛЕКЦИЯ №3
Динамика абсолютно твердого тела. Уравнение поступательного движения и уравнение моментов. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Центр удара. Динамика плоского движения твердого тела. Движение аксиально симметричного твердого тела, закрепленного в центре масс. Уравнения Эйлера.
