Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. При ударах палкой длиной L по препятствию рука "не чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в
точку, расположенную на расстоянии
L-^=L--L=-L 3 3
от свободного
конца палки.
Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, если удар нанесен в точку, находящуюся на высоте
h =
— mR2 5
= 7R 5
ma mR от поверхности бильярда, то есть
2
на h - R = — R выше центра шара.
Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад.
Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.
Рис. 3.10 46
Механика
II. Плоское движение твердого тела.
Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно — она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же (см. лекцию №1).
Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:
1. Уравнение движения центра масс
dv0
m
dt
= F0-
(3.19)
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр
масс
do
dT
= Mr
(3.20)
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.
В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.
Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс (рис. 3.11).
Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
dv0
m • ~rr = mg + Fxp + N;
dt do
'о (jt -Rx Fxp.
(3.21)
(3.22)
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
dvn
= Rx
do
(3.23)
Рис. 3.11
dt dt Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки M цилиндра равна нулю.
Уравнение движения центра масс (3.21) запишем для проекций ускорения и сил на ось X вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) — для проекций углового ускорения и момента силы трения Лекция 1
47
на ось у, совпадающую с осью цилиндра. Направления осей х и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:
(3.24)
Jo ^r = ртр • R; (3.25)
ma = mg sin а - Fxp; do) dt
do) D
a - dt • (3.26)
Отсюда
gsin а
a =
mR2
Следует подчеркнуть, что Fxp — сила трения сцепления — может принимать любое значение в интервале от О до (FTp)MaKC (сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае
FT„ =
J0 g sin а
тр R2 l + JsL-' (3.28)
mR2
Если цилиндр сплошной, то
I7 2 1
J0 = - mR ; a = - g sin а; Fxp = - mg sin а. (3.29)
Качение без проскальзывания определяется условием
Fxp <kN, (3.30)
где к — коэффициент трения скольжения, N = mgcos а — сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему:
^mgsin а < kmg cos а , (3.31)
или
tga < 3k. (3.32)
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12).
Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движения центра масс. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид: 48
Механика
J=Jg-I- IIlJv .
В проекции на ось вращения (ось у)
Здесь
J • = Rmg • sin(l80° - a) = Rmg sin а.
J -^r = R X (mg). (3.33)
J = Jn + mR2.
(3.34)
Рис. 3.12
do) „ g sin а
(3.36)
Кинетическая энергия при плоском движении. Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:
где V0 — скорость центра масс тела, Ui — скорость і-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:
