Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
4. Если ^F не зависит от угловой скорости тела, a ^M — от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независи- 40
Механика
мо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо — движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.
Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.
I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
dL
dt Il
Здесь L — это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию №2). M ~~ это момент внешних сил
относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного ot-I СО носительно некоторой точки, принад-
лежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае cL, значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), М| = rFcosa = pF , где F — составля-
ющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, р — плечо силы F относительно оси.
Поскольку Lі = Jco (J = Jp2dm — момент инерции тела относительно
dL
оси вращения), то вместо можно записать
dt
= M
или
-(Jto) = Mll
dtv ; Il
ydco ,, J-^— = Mn
dt II
(3.8)
(3.9)
поскольку в случае твердого тела J = const.
Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная форма имеет вид:
do
Ж
: М,|
(3.10) Лекция 1
41
Вектор со всегда направлен вдоль оси вращения, а Мц — это составляющая вектора момента силы вдоль оси.
В случае Мц = 0 получаем ю = const, соответственно и момент импульса относительно оси L і сохраняется.
При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.
Стержень AB, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол а между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L относительно точки А движется по конический поверхности с углом полура-
O Л T
створа ? = — - а , однако проекция L на В
вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.
Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).
Скорость і -й частицы тела
Vi=Copi, (3.11)
где Pi — расстояние частицы до оси вращения. Кинетическая энергия
Т = {і>іуі =IlmiP2CO2 =Ijco2j (ЗЛ2)
так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.
В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
5А = d^Jco2 j = Jco • dco = Мц со • dt = Мц • dtp (3.13)
Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол ф0 равна
Фо
А = Jm • dtp . (3.14)
о
Допустим, что диск точила вращается по инерции с угловой скоростью ю0, и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоян- 42
Механика
ная по величине сила Fxp, направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы
Atp = -Ftp ' R<P ,
где R- радиус диска, ф — угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки,
ф Jo)n
п = — =---
2к 4к • Fxp R '
где J — момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.
Замечание. Если силы таковы, что M = 0, то работу они не производят.
Свободные оси. Устойчивость свободного вращения. При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.
Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.
В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень AB, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.
