Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки
В стержня главной, но не центральной, L11 со. Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила Fynp, обеспечивающая его вращение (в НИСО,
F' м Fynp
W W
Il
о в// к; «—^ / > *'упР| а ов
¦
@ V*>2 Ф2 <---fA,
Рис. 3.6 Лекция 1
43
направленные противоположно силам Fynpl и Fynp,. Момент сил F1'
связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила F', уравновешенная силами Ф' со стороны подшипников.
В случае рис. 3.66 ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Вектор момента импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы Fynpl и Fynp,, момент которых обеспечивает приращение dL. (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую
половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы F1' и F2',
и F2 уравновешен моментом сил Ф| и Ф2, возникающих в подшипниках.
И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис. З.бв), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия в горизонтальном направлении. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.
Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции — неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA'
соответствует наибольшему, ось BB' — среднему, а ось CC' — наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему
быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси
BB' к успеху не приво- д
дят — тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.
В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.
С' 44
Механика
Центр удара. Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар.
Рассмотрим сплошной однородный стержень AB, подвешенный в точке А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках
оси OO' (рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила F) нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.96). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точкой А вместе с центром масс О, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно).
Рис. 3.1
Рис. 3.9
Вычислим, на каком расстоянии і от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает
J- = F-A dt
(3.15)
Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
dv0 dt
m
= F,
(3.16) Лекция 1
45
где m — масса тела, V0 — скорость центра масс. Если а — расстояние от оси до центра масс тела, то
v0 = ю а, (3.17)
и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим
J
I =
та
(3.18)
При этом точка С (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника — точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.
В случае сплошного однородного стержня длиной L имеем:
а =
J =
m L
и
н-
2 ' * 3
Замечание. Полученное выражение для I (3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.
