Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
так как ^miUi = 0 (суммарный импульс частиц в системе центра масс ра-
вен нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кёнига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальной энергии:
2
mivi V 1 і \2
T = I^ = I2Ini(V0^i)
(3.37)
-г vo V V Iv 2 mv0 J0O)2
Т= 2 Lmi+voLmiui + 2?miUi = 2 + 2 ' (138>
Jro2
-= mgh = mgx sin а .
(3.39)
Здесь X — смещение цилиндра вдоль наклонной плоскости, J = J0 + mR2 — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения. Лекция 1
49
Поскольку скорость оси цилиндра v = ^ = o)R
dt
то
| 2 = mgx sin а.
(3.40)
(3.41)
J V2 2 R2
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
J ^ dv dx .
—т ¦ 2v — = mg • — • sin а
2R dt dt
dv
откуда для линеиного ускорения а = — оси цилиндра будем иметь то же
выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).
Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.
III. Движение аксиально симметричного твердого тела, закрепленного в центре масс.
Такое движение можно реализовать с помощью специального устройства, называемого кардановым подвесом (рис. 3.13). Положение тела в подвесе должно быть таким, чтобы оси AA', BB' и CC' пересекались в центре масс. В этом случае при любых возможных движениях тела его центр
масс остается неподвижным. При этом ось AA' (в данном случае — ось симметрии тела) может иметь произвольную ориентацию в пространстве.
Задачей о движении твердого тела, закрепленного в точке, занимались многие ученые: Л.Эйлер, большая часть жизни которого была связана с Петербургской Академией Наук, выдающиеся русские ученые Н.Е.Жуковский, С.В.Ковалевская, С.А.Чаплыгин, французские ученые Ж.Лаг-ранж, С.Пуассон, Л.Пуансо. Оказалось, что в общем случае эта задача аналитически неразрешима. Даже в простейшем случае движения твердого тела только под действием силы тяжести точное решение существует лишь в особых частных случаях. Один из этих случаев, когда однородное тело вращения закреплено в центре масс, мы рассмотрим в этой лекции, другой, имеющий отношение к движению гироскопа, — в лекции №4.
Уравнения Эйлера. Рассмотрим однородное аксиально симметричное тело вращения, закрепленное в центре масс О
Рис. 3.13 50
Механика
(рис. 3.14). Центральный эллипсоид инерции такого тела является эллипсоидом вращения с осью симметрии Oz.
Система координат x0y0z0 на рис. 3.14 — лабораторная, система xyz жестко связана с телом, причем оси Ox, Oy и Oz — главные центральные оси
инерции тела. Поскольку это тело вращения, то главные осевые моменты инерции Jx и Jy равны
между собой: Jx = Jy .
Суммарный момент сил тяжести относительно точки закрепления (центра масс) равен нулю, иных сил, кроме сил тяжести, нет, поэтому уравнение моментов (3.2) имеет вид
dL
dt
= 0.
(3.42)
Рис. 3.14
откуда
L = const, (3.43) то есть момент импульса раскрученного и предоставленного самому себе тела остается постоянным по величине и направлению.
Замечание. Если исследуемое тело — шар, то Jz = Jx = Jy , и
центральный эллипсоид инерции трансформируется в сферу. Это означает, что любая центральная ось вращения является главной осью инерции шара, то есть имеет место простое соотношение L = Jco, где J — момент инерции относительно центральной оси, и при L = const получаем to = const. Ось вращения совпадает по направлению с L и сохраняет свою ориентацию в пространстве.
Теперь допустим, что Jz отлично от Jx и Jy , как, например, нарис. 3.14.
В этом случае чистое вращение имеет место только тогда, когда ось вращения либо совпадает с осью симметрии тела, либо перпендикулярна к ней.
Общий случай более сложен; обычно его рассматривают с помощью дифференциальных уравнений Эйлера. Дело заключается в том, что если в уравнении (3.42) вектор L спроектировать на оси лабораторной системы x0y0z0, то скалярные дифференциальные уравнения движения будут весьма сложными, поскольку моменты инерции относительно неподвижных осей будут функциями времени. Поэтому гораздо удобнее рассматривать L в проекциях на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом.
Пусть i, j, к — орты системы xyz, жестко связанной с твердым телом (рис. 3.14). Тогда (3.42) принимает вид
ji dt
(bxi + Lyj+Lzk) = 0;
(3.44)
где не только проекции Lx, Ly, Lz, но и единичные орты i, j, к являются функциями времени. Поэтому из (3.44) следует Лекция 1
51
3Lx at
¦ і + ¦
3L, at
-j + -
