Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными. Другими словами, все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат, жестко связанной с телом. Именно это обстоятельство позволяет значительно упростить решение кинематических задач и конкретизировать многие общие понятия (импульс, момент импульса, энергия), введенные ранее при рассмотрении системы материальных точек.
Степени свободы. Углы Эйлера. Двигаясь в пространстве, твердое тело обладает определенными степенями свободы.
Число степеней свободы — это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве. В разных ситуациях число степеней свободы твердого тела может быть различным. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис. 1.1а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы — положение диска однозначно определяется, скажем, координатой х его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис. 1.16), 6
Механика
' / \ ' / 1 ' I 1
11 ' * \ ' \ \ '
Рис. 1.1
то он приобретает еще одну степень свободы — к координате х добавляется угол ф поворота диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис. 1 Лв), то число степеней свободы становится равным трем — к х и ф добавляется угол 0 поворота рамки.
Коробка, которая может перемещаться по поверхности стола (рис. 1.2), также обладает тремя степенями свободы — для однозначного определения ее положения можно задать, например, координаты х, у ее центра и
угол ф между одним из ребер коробки и краем стола.
Каково же число степеней свободы твердого тела в самом общем случае?
Для того, чтобы однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (три декартовы координаты X, у, z). Две материальные точки, жестко связанные между собой, имеют 3+3 — 1=5 степеней свободы. В этом случае координаты точек X1, ур Z1 и х„ у„ z, не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи
Рис. 1.2
C2 = (х2 -x1)2 +(у2 -уі)2 +(z2-z1)2,
(1.1)
где
расстояние между точками.
Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3 + 3 + 3 —3 = 6степеней свободы. При этом имеются три уравнения связи, выражающие постоянство расстояний между каждой парой точек.
Шесть параметров, соответствующих шести степеням свободы твердого тела, можно задавать по-разному. В дальнейшем мы будем пользоваться тремя различными декартовыми системами координат:
1. Лабораторная система XYZ.
2. Система x0y0z0, начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы XYZ, Лекция 1
7
то есть система x0y0z0 движется вместе с точкой О твердого тела относительно системы XYZ поступательно.
3. Система xyz, начало которой находится в той же точке О, что и начало системы x0y0z0, а оси жестко связаны с твердым телом.
Тогда шести степеням свободы тела будут соответствовать, во-пер-вых, три координаты точки О (в лабораторной системе XYZ), а во-вторых, — три угла ф, 0, однозначно определяющие положение системы xyz относительно x0y0z0. Эти углы называются углами Эйлера. Их смысл ясен из рис. 1.3, где OA — линия пересечения плоскостей Ox0Y0 и Оху, при этом нижнее основание твердого тела (прямоугольного параллелепипеда) лежит в плоскости Оху. Обычно их называют так: ф — угол собственного вращения (с изменением этого угла связан поворот твердого тела вокруг оси z), \|/ — угол прецессии (поворот вокруг Z0 с сохранением угла 0 между осями Z0 и z), 0 — угол нутации (отклонение тела от оси z0).
Примеры с диском на оси и коробкой (рис. 1.1, 1.2) показывают, что сложное движение того или иного тела может быть представлено как суперпозиция достаточно простых движений: поступательного перемещения и поворота (вращения) вокруг оси. В дальнейшем, следуя принципу "от простого к сложному", мы рассмотрим 5 типов движения твердого тела, исчерпывающих все встречающиеся на практике случаи:
— поступательное движение;
— вращение вокруг неподвижной оси;
— плоское, или плоско-параллельное движение;
— движение твердого тела с одной неподвижной точкой (такое движение иногда называют сферическим);
— движение свободного, то есть незакрепленного твердого тела.
Поступательное движение — это такое движение, при котором любой
выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе.
Классическим примером на эту тему является движение кабинок колеса обозрения (рис. 1.4). Этот пример наглядно показывает, что поступательное движение — совсем не обязательно прямолинейное. Очевидно, что число степеней свободы тела в этом случае равно трем, так как достаточно описать движение какой-нибудь одной точки тела (например, точки А на рис. 1.5). Траектории всех остальных точек (например, точки В на рис. 1.5) могут быть получены путем "параллельного" переноса.
