Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
5.0 -95.736 146.152 I45.9.VS -0.735 -0.319 -0.483
10.0 -93,488 145,190 144.526 -2,983 -1.281 -1.945
20.0 -83.742 141.218 138.445 -12.729 -5.253 -7.976
30.0 -62.331 134,075 127.651 -34.140 -12.390 -18,820
Для определения о и ст' необходимо рассчитать прямой и обратный ход действительного луча, параллельного оптической оси. Расчет производится по формулам
sin e = -hr; sin Z = nsin ? n :
о = z — e; .v' - r - rsin e' sin o': j" = h sin o'.
Для сравнения найдем величины / u /' преломляющей поверхности при бесконечно малой высоте /?„. В задаче 3.7 для координаты ./ была найдена формула s' - п'/[(п' - n),‘r - Представим ее в виде
n':‘s' — n's ~ (п'-п)'г.
Если s = -оо, s' = /', то /' = г п'/(п' - п).
Если же s'= оо, то s =/и /-- г п;(п'--п).
Подставляя значения п, п и г, получим f =-г п!(и'- п) =
- -96,4711 =-96,47; f’^rn'/(n'-n)= 146,4711 = 146,47.
Для области вблизи оптической оси, т. е. при h —»0, имеет место равенство ///' = -п/я' = -0,658 636.
Результаты расчета хода действительных лучей, выполненного по приведенным выше формулам для высот /; = 50 10; 20; 30 мм, сведены в табл. 3.6. Разности Af= / -/ и Af'-f'-f, характеризующие изменение фокусных расстояний в пространстве предметов и пространстве изображений, изменяются в зависимости от высоты падения луча h в довольно больших пределах, причем величины А/' больше сферической аберрации Av' на 50%.
Падающие и преломленные лучи пересекаются на преломляющей поверхности, потому что передние и задние главные точки для различных высот h располагаются на самой преломляющей поверхности. Отсюда следует, что преломляющая поверхность не имеет главных плоскостей, а сама является главной поверхностью.
Задача 3.9. По данным задачи 3.7 определить, сохраняет ли постоянство инвариант Лагранжа Гельмгольца при изменении угла СТ.
100
Таблица 3.7. Линейное увеличение сферической преломляющей поверхности для разных углов О л = -300; /-=50: п'= 1,51829
ст. у гг.. градус а. уг.:. : J'ajr.v п ми а n'sm а' 5 Г дц
0 0 — -0,4740 0
-0,125 0,173723 -0.002182 0,004603 -0.4739 0.0001
- 0,25 0.347583 -0,004363 0,009210 -0,4737 0.0003
-0.5 0,696330 -0.00S727 0,018452 -0,4730 0,0010
-1.0 1.401960 -0,017452 0,037146 -0.469Х 0.0042
-2,0 2.880975 -0.034899 0.076311 -0,4573 0,0167
-4.0 6,468360 -0.069756 0,171041 -0,4078 0,0662
-6.0 12.217940 -0,104528 0,321317 -0.3253 0.1487
-8,0 29,044710 -0.139173 0,737118 -0,1888 0,2852
Решение. Постоянство инварианта Лагранжа — Гельмгольца для предмета на конечном расстоянии можно характеризовать постоянством линейного увеличения, т. е.
Р = Ау'/Ау = л, sin CT,/«t'sin ак' = const.
При бесконечно малых углах а, когда а —> 0, можно принять
sin а = а; sin а' = а', тогда для линейного увеличения
Р = п а/п'а'.
Учитывая, что tt = hjs и а' = hjs\ получим (3 = ns'/ri's.
При а —»0 и .? = -300,0 ./ = 215,8972, тогда Р = ns'/ri's 0,4740.
Значения линейного увеличения для различных углов а приведены в табл. 3.7. Изменение линейного увеличения в связи с изменением угла а характеризуется разностью Лр = Р - Р, называемой отступлением от условия синусов для предмета на конечном расстоянии.
Отступление от условия синусов при изменении угла а от 0 до 1е не превышает 1%, а при ст= 83 достигает 60%. Это говорит
о том, что внеосевые точки предмета в плоскости изображения при <т —> 0 будут изображаться так же, как и осевые ¦ — в виде кружков рассеяния, отсюда следует, что инвариант Лагранжа — Гельмгольца для преломляющей поверхности не постоянен.
Задача 3.10. Доказать, что для преломляющей сферической поверхности задачи 3.7 при изменении угла а изменяется инвариант Гершеля.
Решение. Для того чтобы элементарные отрезки Ат, расположенные вдоль оптической оси, изображались в виде идеальных отрезков Дг', необходимо выполнение условия, или инварианта Гершеля:
/I,Ar sin: (СТ,'2) - ///Ar'.sin: (ст//2),
101
отсюда, для продольного увеличения:
сс = -- = ”ism2(ai/2)
Az «;Sin2(a;/2)
Для преломляющей поверхности задачи 3.7: а, угл. фадус -0,125 -0,5 -2,0 -4,0 - 8,0
а 0,3410 0,3396 0,3174 0,2520 0,0510
При a —> 0 продольное увеличение будет равно a= (n/n')(s'/s)2 = 0,3411.
Из вычислений видно, что продольное увеличение а изменяется в большей степени по сравнению с линейным и при a = -8° уменьшается по сравнению с р в 6,7 раза. Это объясняется равенством а в п[ (32/л(. Отсюда следует, что оптическая система не может создать изображение, подобное предмету, имеющему протяженность по глубине, если даже выполняется условие (3 = const.
Задача 3.11. Определить координаты s и s' апланатических точек преломляющей поверхности, если г = -50,0 мм; л = 1 и п = 1,518 29. Показать, что s' и р для этих точек не зависят от величины углов а.
Решение. Апланатическими называются сопряженные точки, для которых сферическая преломляющая поверхность является анаберрационной и р= const, т. е.__ и справлена кома.
Для координат s и s' преломляющей поверхности, исходя из формул, приведенных в задаче 3.7, имеем
~ _ sin a-sin е _ sin a'-sin e' sin a ’ sin a'
Допустим, что a = E, тогда a' = e' и координаты s и s' = 0. Это значит, что предмет и изображение располагаются в вершине преломляющей поверхности. В данном случае
